考虑到我有两个独立正态随机变量的连续联合分布(假设独立变量在 X 轴和 Z 轴上，相关的 - 联合概率 - 在 Y 轴上)，我有一条线在 XZ 平面上的任何位置，我如何计算一个点落在该直线一侧或另一侧的概率？
最佳答案
首先移动所有东西，使两个正态分布(X 和 Z)以零为中心；现在联合分布将是一个以原点为中心的小山。
现在缩放其中一个轴，使两个分布具有相同的方差(或“宽度”)。现在联合概率应该是一个旋转对称的山丘。
现在重要的是这条线离原点有多近。围绕原点旋转(这将使联合概率保持不变)直到该线平行于其中一个轴，例如 Z。现在您要询问随机点的 X 大于或小于 X 值的概率的线。这是由缩放分布函数之一确定的(它们是相同的)，并且可以通过误差函数计算。
如果有用的话，我可以写出数学。
编辑:我会尝试写出最后一步。请原谅我粗糙的 ascii，我没有好的数学输入板。
假设我们对分布进行了缩放和居中，使 sigmaX = sigmaZ = 1，并旋转了所有内容:
joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2) line: x = c
现在求一个随机点位于某个 x 和 x+dx 之间的“垂直”窄带上的概率:
P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
= 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
= 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)
但这与(或)两个正态分布之一相同。因此，一个随机点位于直线左侧的概率是
P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
= 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))
关于math - 计算联合分布的一部分的概率，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/1255348/