3d - 贝塞尔三次曲线 : moving with uniform acceleration

Question

假设我有一个 Bezier curve B(u) ，如果我增加 u参数以恒定速率我没有获得沿曲线的恒定速度运动，因为 u 之间的关系参数和评估曲线所获得的点不是线性的。

我已经阅读并实现了 David Eberly 的 article .它解释了如何沿参数曲线以恒定速度移动。

假设我有一个函数 F(t)将时间值作为输入 t和速度函数 sigma返回速度值在时间 t ，我可以获得沿曲线的恒定速度运动，以恒定速率改变 t 参数:B(F(t))
我正在使用的文章的核心是以下功能:

float umin, umax; // The curve parameter interval [umin,umax].
Point Y (float u); // The position Y(u), umin <= u <= umax.
Point DY (float u); // The derivative dY(u)/du, umin <= u <= umax.
float LengthDY (float u) { return Length(DY(u)); }
float ArcLength (float t) { return Integral(umin,u,LengthDY()); }
float L = ArcLength(umax); // The total length of the curve.
float tmin, tmax; // The user-specified time interval [tmin,tmax]
float Sigma (float t); // The user-specified speed at time t.

float GetU (float t) // tmin <= t <= tmax
{
  float h = (t - tmin)/n; // step size, `n' is application-specified
  float u = umin; // initial condition
  t = tmin; // initial condition
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    // The divisions here might be a problem if the divisors are
    // nearly zero.
    float k1 = h*Sigma(t)/LengthDY(u);
    float k2 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k1/2);
    float k3 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k2/2);
    float k4 = h*Sigma(t + h)/LengthDY(u + k3);
    t += h;
    u += (k1 + 2*(k2 + k3) + k4)/6;
  }
  return u;
}

它允许我获得曲线参数 u使用提供的时间计算 t和西格玛函数。
现在，当速度 sigma 不变时，该函数可以正常工作。如果 sigma 代表统一的加速度，我会从中得到错误的值。

这是一个直线贝塞尔曲线的示例，其中 P0 和 P1 是控制点，T0 T1 是切线。曲线定义:

[x,y,z]= B(u) =(1–u)3P0 + 3(1–u)2uT0 + 3(1–u)u2T1 + u3P2 

假设我想知道时间 t = 3 沿曲线的位置.
如果我是匀速:

float sigma(float t)
{
  return 1f;
}

以及以下数据:

V0 = 1;
V1 = 1;
t0 = 0;
L = 10;

我可以分析计算位置:

px = v0 * t = 1 * 3 = 3

如果我使用我的 Bezier 样条和上面的算法使用 n =5 求解相同的方程我获得:

px = 3.002595;

考虑到数值近似，该值非常精确(我对此进行了大量测试。我省略了细节，但 Bezier 我的曲线实现很好，并且曲线本身的长度使用 Gaussian Quadrature 计算得非常精确)。

现在，如果我尝试将 sigma 定义为均匀加速度函数，则会得到不好的结果。
考虑以下数据:

V0 = 1;
V1 = 2;
t0 = 0;
L = 10;

我可以使用线性运动方程计算粒子到达 P1 的时间:

L = 0.5 * (V0 + V1) * t1 =>
t1 = 2 * L / (V1 + V0) = 2 * 10 / 3 = 6.6666666

有 t我可以计算加速度:

a = (V1 - V0) / (t1 - t0) = (2 - 1) / 6.6666666  = 0.15

我有所有数据来定义我的 sigma 函数:

float sigma (float t)
{
  float speed = V0 + a * t;
}

如果我分析地解决这个问题，我希望在时间之后粒子的以下速度t =3 :

Vx = V0 + a * t = 1 + 0.15 * 3 = 1.45

位置将是:

px = 0.5 * (V0 + Vx) * t = 0.5 * (1 + 1.45) * 3 = 3.675

但是如果我用上面的算法计算它，位置结果:

px = 4.358587

这与我所期望的完全不同。

很抱歉这篇长文章，如果有人有足够的耐心阅读它，我会很高兴。

你有什么建议吗？我错过了什么？谁能告诉我我做错了什么？

编辑:
我正在尝试使用 3D Bezier 曲线。这样定义:

public Vector3 Bezier(float t)
{
    float a = 1f - t;
    float a_2 = a * a;
    float a_3 = a_2 *a;

    float t_2 = t * t;

    Vector3 point = (P0 * a_3) + (3f * a_2 * t * T0) + (3f * a * t_2 * T1) + t_2 * t * P1 ;

    return point;
}

和衍生物:

public Vector3 Derivative(float t)
{
    float a = 1f - t;
    float a_2 = a * a;
    float t_2 = t * t;
    float t6 = 6f*t;

    Vector3 der = -3f * a_2 * P0 + 3f * a_2 * T0 - t6 * a * T0 - 3f* t_2 * T1 + t6 * a * T1 + 3f * t_2 * P1;

    return der;
}

Answer 1

我认为您只是在您的实现中未显示的函数 Y 和 DY 中某处有一个错字。我尝试了 P0 = 0、T0 = 1、T1 = 9、P1 = 10 的一维曲线，得到 3.6963165，n=5，n=30 时改进为 3.675044，n=100 时改进为 3.6750002。

如果您的实现是二维的，请尝试使用 P0 = (0, 0)、T0 = (1, 0)、T1 = (9, 0) 和 P1 = (10, 0)。然后再次尝试 P0 = (0, 0), T0 = (0, 1), T1 = (0, 9), and P1 = (0, 10)。

如果您使用 C，请记住 ^ 运算符并不表示指数。您必须使用 pow(u, 3) 或 u*u*u 来获得 u 的立方。

尝试在每次迭代中打印出尽可能多的东西的值。这是我得到的:

i=1
    h=0.6
    t=0.0
    u=0.0
    LengthDY(u)=3.0
    sigma(t)=1.0
    k1=0.2
    sigma(t+h/2)=1.045
    LengthDY(u+k1/2)=6.78
    k2=0.09247787
    LengthDY(u+k2/2)=4.8522377
    k3=0.12921873
    sigma(t+h)=1.09
    LengthDY(u+k3)=7.7258916
    k4=0.08465043
    t_new=0.6
    u_new=0.12134061
i=2
    h=0.6
    t=0.6
    u=0.12134061
    LengthDY(u)=7.4779167
    sigma(t)=1.09
    k1=0.08745752
    sigma(t+h/2)=1.135
    LengthDY(u+k1/2)=8.788503
    k2=0.0774876
    LengthDY(u+k2/2)=8.64721
    k3=0.078753725
    sigma(t+h)=1.1800001
    LengthDY(u+k3)=9.722377
    k4=0.07282171
    t_new=1.2
    u_new=0.20013426
i=3
    h=0.6
    t=1.2
    u=0.20013426
    LengthDY(u)=9.723383
    sigma(t)=1.1800001
    k1=0.072814174
    sigma(t+h/2)=1.225
    LengthDY(u+k1/2)=10.584761
    k2=0.069439456
    LengthDY(u+k2/2)=10.547299
    k3=0.069686085
    sigma(t+h)=1.27
    LengthDY(u+k3)=11.274727
    k4=0.06758479
    t_new=1.8000001
    u_new=0.26990926
i=4
    h=0.6
    t=1.8000001
    u=0.26990926
    LengthDY(u)=11.276448
    sigma(t)=1.27
    k1=0.06757447
    sigma(t+h/2)=1.315
    LengthDY(u+k1/2)=11.881528
    k2=0.06640561
    LengthDY(u+k2/2)=11.871877
    k3=0.066459596
    sigma(t+h)=1.36
    LengthDY(u+k3)=12.375444
    k4=0.06593703
    t_new=2.4
    u_new=0.3364496
i=5
    h=0.6
    t=2.4
    u=0.3364496
    LengthDY(u)=12.376553
    sigma(t)=1.36
    k1=0.06593113
    sigma(t+h/2)=1.405
    LengthDY(u+k1/2)=12.7838
    k2=0.06594283
    LengthDY(u+k2/2)=12.783864
    k3=0.0659425
    sigma(t+h)=1.45
    LengthDY(u+k3)=13.0998535
    k4=0.06641296
    t_new=3.0
    u_new=0.4024687

我调试了很多这样的程序，只需打印出大量变量，然后手动计算每个值，并确保它们相同。