matrix - 将权重应用于矩阵和顶点(骨骼旋转)

Question

我正在旋转网格内骨架的骨骼以获得低多边形 3D 图形。在顶点着色器上它是这样应用的。
GLSL:

    vec4 vert1 = (bone_matrix[index1]*vertex_in)*weight;
    vec4 vert2 = (bone_matrix[index2]*vertex_in)*(1-weight);
    gl_Position =  vert1+vert2;

bone_matrix[index1]是一根骨骼的矩阵，bone_matrix[index2]是另一个矩阵。 weight指定vertex_in是这些骨头的成员(member)。问题是权重越接近 0.5，应用旋转时肘部的直径收缩得越多。我已经用大约 10,000 个顶点的圆柱体形状(具有权重梯度)对其进行了测试。结果看起来就像弯曲花园软管。

我从这些来源得到了我的加权方法。它实际上是我能找到的唯一方法:
http://www.opengl.org/wiki/Skeletal_Animation
http://ogldev.atspace.co.uk/www/tutorial38/tutorial38.html
http://blenderecia.orgfree.com/blender/skinning_proposal.pdf



左边是形状开始的方式，中间是上述方程如何旋转它，右边是我的目标。中点加权 0.5 .它越弯曲只会变得更糟，在 180 度时它的直径为零。

我已经尝试在着色器上组装矩阵，以便我可以将权重应用于旋转而不是结果顶点。它看起来很完美，就像右图中的那个，但它需要为每个顶点组装矩阵(昂贵)

我已经研究过四元数，但 glsl 本身并不支持它们(如果我错了，请纠正我)并且它们令人困惑。这是我需要做的吗？

我考虑过每个关节有三块骨头，并在每块骨头之间添加一个“膝盖骨”。这不会消除问题，但会减轻它。

我正在考虑在旋转后将顶点投影到与轴的原始距离。这会在 180 度时失败，但会(相对)便宜。

所以考虑我可能没有考虑过的选项或其他选项，其他人如何避免这种挤压效应？

编辑:我已经让 SLERP 使用四元数工作，但我选择不使用它，因为 GLSL 本身不支持它。我无法让几何 SLERP 像汤姆所描述的那样工作。我让 NLERP 在前 90 度工作，所以我在每个关节之间添加了一个额外的“骨骼”。所以要弯曲前臂 40 度，我将肘部和前臂各弯曲 20 度。这消除了挤压效应，代价是骨骼数量加倍，这不是理想的解决方案。

Answer 1

问题

Levans 中的图说明了您所看到的原因answer .但是，要了解发生了什么，请考虑执行代码时发生的情况:

如果第一点vert1有坐标(p, 0) vert2的坐标将是 (p cos(α), p sin(α))哪里α是两个骨骼之间的角度(如果进行适当的坐标变换，这总是可能的)。使用适当的权重将这些加在一起 ​​w和 1-w我们得到以下坐标:

x = w p + (1-w) p cos(α)
y = (1-w) p sin(α)

这个向量的长度是:

length^2 = x^2 + y^2
         = (w p + (1-w) p cos(α))^2 + (1-w)^2 p^2 sin(α)^2
         = p^2 [w^2 + 2 w (1-w) cos(α) + (1-w)^2 cos(α)^2 + (1-w)^2 sin(α)^2]
         = p^2 [w^2 + (1-w)^2 + 2 w (1-w) cos(α)]

例如，当 w = 1/2这简化为:

length^2 = p^2 (1/2 + 1/2 cos(α)) = p^2 cos(α/2)^2

和 length = p |cos(α/2)|而原始向量的长度是 p (见 graph)。新向量的长度变小了，这就是你感知到的收缩效果。这样做的原因是我们实际上是沿一条直线对两个顶点进行插值。如果我们希望保持相同的长度 p我们实际上需要沿着围绕旋转中心的圆进行插值。一种可能的方法是重新归一化结果向量，保留关节处的宽度。

这意味着我们需要将结果顶点坐标除以 |cos(α/2)| (或任意权重的更一般结果)。这当然有一个副作用，当角度正好为 180° 时，除以零(出于同样的原因，使用您的技术，关节处的宽度为零)。

我不是骨骼动画专家，但在我看来，您描述的原始解决方案是使用小骨骼角度(收缩效果最小)的近似值。

替代方法

另一种方法是插入旋转而不是顶点。例如参见 slerp wiki page和 this paper .

SLERP

slerp 技术类似于我上面描述的技术，因为它也保留了关节处的宽度，但是它直接沿着围绕关节的圆形路径进行插值。一般公式为:

gl_Position = [sin((1-w)α)*vert1 + sin(wα)*vert2]/sin(α)

鉴于上述观点 vert1 = (p, 0)和 vert2 = (p cos(α), p sin(α))应用 SLERP 公式产生 result = (x, y)和:

x = p [sin((1-w)α) + sin(wα) cos(α)]/sin(α)
y = p sin(wα) sin(α)/sin(α) = p sin(wα)

计算余弦 cos θ vert1之间的夹角和 result产量:

cos(θ) = vert1*result/(|vert1| |result|) = vert1*result/p^2
       = p^2 [sin(wα) + sin((1-w)α) cos(α)]/sin(α)/p^2
       = [sin(α) cos((1-w)α) - cos(α) sin((1-w)α) + sin((1-w)α) cos(α)]/sin(α)
       = cos((1-w)α)

vert2之间的夹角和 result是:

cos(φ) = vert2*result/p^2
       = [sin(wα) cos(α) + sin((1-w)α) cos(α)^2 + sin((1-w)α) sin(α)^2]/sin(α)
       = [sin(wα) cos(α) + sin((1-w)α) cos(α)]/sin(α)
       = [sin(wα) cos(α) + sin(α) cos(wα) - cos(α) sin(wα)]/sin(α)
       = cos(wα)

这意味着 θ/φ = (1-w)/w这表达了 SLERP 以恒定径向速度进行插值的事实。使用 3D 旋转矩阵时，我们可以表达旋转变换 vert1进入 vert2如 M = inverse(A)*B = transpose(A)*B以便我们可以表达旋转角度α作为:

cos(α) = (tr(M) - 1)/2 = (tr(transpose(A)*B) - 1)/2
       = (A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0] + A[0][2]*B[2][0] + 
          A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1] + A[1][2]*B[2][1] + 
          A[2][0]*B[0][2] + A[2][1]*B[1][2] + A[2][2]*B[2][2] - 1)/2

四元数LERP

使用四元数时，SLERP 的一个很好的近似方法是直接对四元数进行线性插值，然后对结果进行重新归一化。这给出了与 SLERP 中相同的插值曲线，但是插值不会在恒定径向速度下发生。

如果你真的想完全避免这些问题，你总是可以在关节处拆分网格并分别旋转它们。