python - 为什么 numpy.linalg.solve() 提供比 numpy.linalg.inv() 更精确的矩阵求逆？

Question

我不太明白为什么 numpy.linalg.solve() 给出了更准确的答案，而 numpy.linalg.inv() 有点崩溃，给出 (我相信是)估计。

举一个具体的例子，我正在求解方程 C^{-1} * d 其中 C 表示一个矩阵，而 d是一个向量数组。为了便于讨论，C 的尺寸是形状 (1000,1000) 而 d 是形状 (1,1000) 。

numpy.linalg.solve(A, b) 为 x 求解方程 A*x=b，即 x = A^{-1} * b. 因此，我可以通过

(1)

inverse = numpy.linalg.inv(C)
result = inverse * d

或 (2)

numpy.linalg.solve(C, d)

方法 (2) 给出了更精确的结果。为什么是这样？

究竟发生了什么使得一个“工作得更好”比另一个？

Answer 1

np.linalg.solve(A, b)不计算A的逆。相反，它调用 gesv LAPACK routines 之一，它首先使用 LU 分解分解 A，然后使用前向和后向替换求解 x(参见 here)。

np.linalg.inv 使用相同的方法通过求解A^-1A的逆em> in A·A^-1 = I 其中I 是身份*。分解步骤与上面完全相同，但需要更多的浮点运算来求解A^-1(一个n×n矩阵) 而不是 x (一个 n-long 向量)。此外，如果您想通过身份 A^-1·b = x 获得 x，那么额外的矩阵乘法将导致更多的 float 点操作，因此性能更慢，数值错误更多。

不需要计算A^-1的中间步骤——直接得到x更快更准确。 p>

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* inv 的相关源位是here .不幸的是，由于它是模板化的 C，因此有点难以理解。需要注意的重要一点是，单位矩阵作为参数 B 传递给 LAPACK 求解器。