matlab - Matlab 中 IFFT 的缩放问题

Question

我正在 Matlab 中研究 IFFT，将其应用于高斯。根据Wikipedia表，傅里叶变换对将是

F(w) = sqrt(pi/a) * exp(-w^2/(4a))

频率，以及

f(t) = exp(-at^2)

及时。我修改了previous question中的代码加上 Cris Luengo 执行此 IFFT 的答案。

a = 0.333;

ts = 1e4; % time sampling
L = 1000*ts; % no. sample points
ds = 1/ts;
f = -floor(L/2):floor((L-1)/2); % freq vector
f = f/ts;

w = 2*pi*f; % angular freq
Y = sqrt(pi/a)*exp(-w.^2/(4*a));

y = ts*ifftshift(ifft(fftshift(Y)));

t = (-L/2:L/2-1)*ts/L; % time vector

f = exp(-a*t.^2); % analytical solution

figure; subplot(1,2,1); hold on
plot(t,real(y),'.--')
plot(t,real(f),'-')
xlabel('time, t')
title('real')
legend('numerical','analytic')
xlim([-5,5])
subplot(1,2,2); hold on
plot(w,imag(y),'.--')
plot(w,imag(f),'-')
xlabel('time, t')
title('imag')
legend('numerical','analytic')
xlim([-5,5])

当我将 IFFT 的结果与解析表达式进行比较时，它们似乎不一致:

不知道错在哪里。我是否正确缩放了 IFFT？我定义线性/角频率的方式是否有错误？

编辑:出于某种原因，当我定义L=ts^2时，解析解和数值解似乎一致(L = no .采样点，ts = 时间采样)。

Answer 1

从解析解开始，让我们重新表述一下。您有函数 f(t) = exp(-a*t^2) 的样本，以及构建您正在收集的分析答案的方式L=1000* ts=1e7 以 Ts=ts/L=1e-3 的采样率进行采样。这意味着您的采样频率为 Fs=1/Ts=1e3。

由于您想要与 fft/ifft 获得的结果进行比较，因此您应该考虑数字或离散 频率，这意味着您为变换定义的值将对应于数字频率

frd = (-L/2:L/2-1)/L;

将其映射到角频率，我们有:

w = 2*pi*frd;

但是当您尝试计算这些值时，您还需要记住这些频率应该代表您期望的连续时间频谱的样本。因此，您可以根据采样频率缩放这些值:

Y = sqrt(pi/a)*exp(-(Fs*w).^2/(4*a));
y = Fs*ifftshift(ifft(fftshift(Y)));

当您比较分析答案和计算答案时，它们现在是匹配的。

鉴于此，对您问题的简短回答是，您最后错误地缩放了 y 。您将按 ts 进行缩放，即 1e4，但您需要按采样频率进行缩放，即 Fs=1e3。这就是为什么你最终会落后 10 倍。