c++ - 在 2d 中缩放对象以精确地覆盖自身

Question

我正在尝试使用 Vulkan 的模板缓冲区渲染轮廓。该技术涉及渲染对象两次，第二次放大以考虑所述轮廓。通常这是在 3D 空间中完成的，其中每个顶点的法 vector 可用于正确缩放对象。然而，我正在 2D 空间中尝试相同的操作，并且没有预先计算法线。

示例:给定坐标 I、H 和 J，我需要找到 L， K和M，条件是每组平行 vector 之间的距离相同。

我尝试放大该对象，然后将其移动到正确的位置，但这却无济于事。

我正在寻找一种非常适用于 2D 空间中的任意形状并且也有些高效的解决方案。我也不确定这应该在 GPU 还是 CPU 上计算。

Answer 1

让我们绘制一些二维多边形的单个点的示例。

点M的位置仅取决于A及其两条相邻线的位置，我也添加了法线 - 绿色和蓝色。点 P 和 Q 线位于移位线和非移位线的交点上。

如果我们知道 A - B 、 C 的相邻点以及到 O 和 P 的距离，那么

M = A - d_p * normalize(B-A) - d_o * normalize(C-A)

这是正确的，因为 P、O 位于 B-A 和 C-A 线上。

距离很容易从双色直角三角形计算出来:

d_p=s/sin(alfa)
d_o=s/sin(alfa)

其中s是所需的模板移位。它们当然是相同的。

因此，给定某个多边形角的 A,B,C 坐标和所需的位移 s ，整个计算为:

b =  normalize(B-A) # vector
c =  normalize(C-A) # vector
alfa = arccos(b.c)  # dot product
d = s/sin(alfa)
M = A - sign(b.c) * (b+c)*d

这也证明了M位于α角平分线上。

无论如何，该公式是通用的并且适用于任何 2D 多边形，它很容易并行化，因为每个点都独立于其他点进行移动。但是

• 对于非凸角，需要使用相反的符号，我们可以使用点积来概括。
• 当 b.c 接近于零时，即当 b,c 线几乎平行时，它在数值上不稳定，在这种情况下，我建议只移动 A by d*n_b 其中 n_b 是 B-A 线的标准化法线，在 2D 中它是标准化((B.y - A.y, A.x -B.x))。