r - 如何从外部近似椭圆？

Question

为了解决this problem关于两个椭圆的重叠，我们从椭圆的内部近似椭圆。事实上，椭圆是凸的，我们通过连接周边上的连续点来构造一条路径。这给出了椭圆中包含的多边形。

所以我们最后找到的面积必然小于真实面积:我们得到了面积的下限。

如何构造一个包含椭圆(当然还要近似它)的多边形，以获得上限？通过取小块切线来构造一个包络线似乎并不容易。

Answer 1

使用this answer中给出的椭圆公式构造切线并不太难。 。它以参数形式给出椭圆；要获取切线的斜率，请使用 (dy/dtheta)/(dx/dtheta) ，即

slopes <- (-a * sin(theta) * sin(angle) + b * cos(theta) * cos(angle))/
            (-a * sin(theta) * cos(angle) - b * cos(theta) * sin(angle))

那么拦截来自intercepts <- y - slopes*x ，其中x和y来自椭圆上的点。

最后，您将连续对这些切线相交以​​获得外部多边形的顶点。这是一个完整的解决方案:

innerouter <- function(x0, y0, a, b, angle, n = 360) {
    angle <- angle/360 * 2 * pi
    theta <- c(seq(0, 2 * pi, length.out = n), 0)
    
    slopes <- (-a * sin(theta) * sin(angle) + b * cos(theta) * cos(angle))/
        (-a * sin(theta) * cos(angle) - b * cos(theta) * sin(angle))
    crds <- cbind(a * cos(theta) * cos(angle) - b * sin(theta) * sin(angle) + x0,
                                a * cos(theta) * sin(angle) + b * sin(theta) * cos(angle) + y0)
    intercepts <- crds[,2] - slopes*crds[,1]
    i <- 1:(n-1)
    x <- (intercepts[i] - intercepts[i+1])/(slopes[i+1] - slopes[i])
    y <- slopes[i]*x + intercepts[i]
    outer <- cbind(c(x, x[1]),  c(y, y[1]))
    inner <- crds
    list(inner = inner, outer = outer) 
}

both <- innerouter(0,0,5, 10, 45, n=10)
plot(both$outer, col = "green", type = "l")
lines(both$inner, col = "red")

^{创建于 2023 年 5 月 10 日 reprex v2.0.2}