haskell - 仿函数泛化问题

Question

Functor in Control.Categorical.Functor具有以下定义:

class (Category r, Category t) => Functor f r t | f r -> t, f t -> r where
  fmap :: r a b -> t (f a) (f b)

但是假设我想要一个从普通函数到 Kleisli 的仿函数箭头(这可能是一个愚蠢的例子)。

我想要这样的类型:

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m a b

那么我可以让r = (->), t = Kleisli m得到:

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m (f a) (f b)

但是，f 是什么？!我真的只是想让它消失。我可以使用 Identity通过让 f = Identity 仿函数，然后我得到:

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m (Identity a) (Identity b)

这需要一些困惑的展开。

然后我想到这样定义 Functor:

class (Category r, Category t) => Functor r t where
  type family F r t x :: *
  fmap :: r a b -> t (F r t a) (F r t b)

这允许我为 Kleisli 定义一个 Functor 实例，如下所示(没有丑陋的身份包装器):

instance (Monad m) => Functor (->) (Kleisli m) where
  type F (->) (Kleisli m) a = a
  fmap f = Kleisli (return . f)

在此之后，我很确定我处于:

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m a b

这很好。

现在，我可以立即识别一个问题，即对于 Functor 的给定 r 和 t 参数，原始类定义允许 f 有多个选项，而根据我的定义，r 和 t 确定 f。这是一个严重的问题，就好像我定义说:

fmap :: (a -> b) -> (Maybe a -> Maybe b)

我无法定义:

fmap :: (a -> b) -> ([a] -> [b])

在这两种情况下，r = (->) 和 t = (->)。所以目前我的 Functor 甚至没有取代原始的 Prelude 版本。

所以我现在有一些问题:

1. 我可以调整我的定义，使 r 和 t 无法确定 f(与原始版本一样)吗？或者这需要 Injective Type Families (如果是这种情况，我很乐意编译 head 来尝试这个)。
2. 我可以进一步调整我的定义，以便 f 和 r 确定 t 以及 f 和 t 确定 r？
3. 执行上述操作后(如果不可能，则不执行)对类型推断有哪些潜在影响？
4. 与原始类定义相比，除了增加打字量之外，还有其他不好的地方吗？
5. 是否有其他方法仍然允许我定义 Kleisli 仿函数而不用 Identity 包装，同时比我提出的方法“更好”(更有用的结构、更好的类型推断等)。

很抱歉，最后几个问题有点模糊，我知道类型推断与通用性通常是一种权衡，但我只是在这种特殊情况下寻找一些关于它的想法。

(这个问题部分源于 this question 的答案)

Answer 1

你能得到的最接近的是

class (Category r, Category t) => Functor
          (f :: *) (r :: *->*->*) (t :: *->*->*) where
  type F f x :: *
  fmap :: Tagged f ( r a b -> t (F f a) (F f b) )

instance Functor [()] (->) (->) where
  type F [()] x = [x]
  fmap = Tagged map

instance (Monad m) => Functor (Kleisli m () ()) (->) (Kleisli m) where
  type F (Kleisli m () ()) x = x
  fmap = Tagged $ \f -> Kleisli $ return . f