haskell - 如何将延续单子(monad)分解为左右伴随？

Question

由于 State monad 可以分解为 Product(左 - Functor)和 Reader(右 - 可表示)。

有没有办法分解Continuation Monad？下面的代码是我的尝试，它不会输入检查

-- To form a -> (a -> k) -> k
{-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses, TypeOperators, InstanceSigs, TypeSynonymInstances #-}
type (<-:) o i = i -> o
-- I Dont think we can have Functor & Representable for this type synonym

class Isomorphism a b where
   from :: a -> b
   to :: b -> a

instance Adjunction ((<-:) e) ((<-:) e) where
   unit :: a -> (a -> e) -> e
   unit a handler = handler a

   counit :: (a -> e) -> e -> a
   counit f e = undefined -- If we have a constraint on Isomorphism a e then we can implement this

是否有形成单子(monad)的左右伴随的列表？

我已经读过，给定一对伴随词，它们形成一个独特的 Monad 和 Comonad，但是，给定一个 Monad，它可以分解为多个因子。有这方面的例子吗？

Answer 1

这不会进行类型检查，因为类 Adjunction仅代表一小部分附属物，其中两个仿函数都是 Hask 上的内仿函数。

事实证明，附件 (<-:) r -| (<-:) r 并非如此。 .这里有两个微妙不同的仿函数:

f = (<-:) r ，从 Hask 到 Op(Hask) 的仿函数(Hask 的相反范畴，有时也表示为 Hask^op)

g = (<-:) r , 从 Op(Hask) 到 Hask 的仿函数

特别是 counit应该是 Op(Hask) 类别中的自然转换，它翻转箭头:

unit   :: a -> g (f a)
counit :: f (g a) <-: a

事实上，counit与 unit 一致在这个附件中。

为了正确地捕捉到这一点，我们需要概括 Functor和 Adjunction类，因此我们可以对不同类别之间的附加进行建模:

class Exofunctor c d f where
  exomap :: c a b -> d (f a) (f b)

class
  (Exofunctor d c f, Exofunctor c d g) =>
  Adjunction
    (c :: k -> k -> Type)
    (d :: h -> h -> Type)
    (f :: h -> k)
    (g :: k -> h) where
  unit :: d a (g (f a))
  counit :: c (f (g a)) a

然后我们再次得到 Compose是一个单子(monad)(如果我们翻转附加词，也是一个共单子(monad)):

newtype Compose f g a = Compose { unCompose :: f (g a) }

adjReturn :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => a -> Compose g f a
adjReturn = Compose . unit @_ @_ @c @(->)

adjJoin :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => Compose g f (Compose g f a) -> Compose g f a
adjJoin = Compose . exomap (counit @_ @_ @c @(->)) . (exomap . exomap @(->) @c) unCompose . unCompose

和 Cont只是一个特例:

type Cont r = Compose ((<-:) r) ((<-:) r)

有关更多详细信息，另请参阅此要点:https://gist.github.com/Lysxia/beb6f9df9777bbf56fe5b42de04e6c64

I have read that given a pair of adjoints they form a unique Monad & Comonad but given a Monad it can be Factorized into multiple Factors. Is there any example of this?

因式分解通常不是唯一的。一旦你像上面那样概括了附加词，那么你至少可以考虑任何单子(monad) M作为其 Kleisli 类别和其基本类别(在本例中为 Hask)之间的附属物。

Every monad M defines an adjunction
  F -| G
where

F : (->) -> Kleisli M
  : Type -> Type                -- Types are the objects of both categories (->) and Kleisli m.
                                -- The left adjoint F maps each object to itself.
  : (a -> b) -> (a -> M b)      -- The morphism mapping uses return.

G : Kleisli M -> (->)
  : Type -> Type                -- The right adjoint G maps each object a to m a
  : (a -> M b) -> (M a -> M b)  -- This is (=<<)

我不知道延续单子(monad)是否对应于 Hask 上的 endofunctors 之间的附属物。

另请参阅有关 monad 的 nCatLab 文章:https://ncatlab.org/nlab/show/monad#RelationToAdjunctionsAndMonadicity

Relation to adjunctions and monadicity

Every adjunction (L ⊣ R) induces a monad R∘L and a comonad L∘R. There is in general more than one adjunction which gives rise to a given monad this way, in fact there is a category of adjunctions for a given monad. The initial object in that category is the adjunction over the Kleisli category of the monad and the terminal object is that over the Eilenberg-Moore category of algebras. (e.g. Borceux, vol. 2, prop. 4.2.2) The latter is called the monadic adjunction.