c++ - 使用固定内核进行多次迭代的膨胀/腐 eclipse 是否类似于具有更大尺寸的等效内核的膨胀/腐 eclipse

Question

在浏览 OpenCV 源代码时，我注意到对于不止一次的迭代，它只会创建一个更大尺寸的内核并进行一次迭代。

所以我的问题是，如果我们采用 3x3 大小的 SQUARE 结构元素并在三个迭代中对其进行扩张/侵 eclipse ，它是否与使用 9x9 内核扩张/侵 eclipse 它一次相同。

if( iterations > 1 && countNonZero(kernel) == kernel.rows*kernel.cols )
{
    anchor = Point(anchor.x*iterations, anchor.y*iterations);
    kernel = getStructuringElement(MORPH_RECT,
                                   Size(ksize.width + (iterations-1)*(ksize.width-1),
                                        ksize.height + (iterations-1)*(ksize.height-1)),
                                   anchor);
    iterations = 1;
}

Answer 1

引用 Jordi 的回答:

[Quoted] ... Note, however, that this does not hold for all structuring elements...

事实上，它以下列方式成立(不是在 Jordi 的例子中):

第一步，在单个中心点 5x5 源图像上在 3x3 内核中通过两次膨胀计算 5x5 内核:

00000          00000          00100
00000   010    00100   010    01110
00100 + 111 -> 01110 + 111 -> 11111    ===> this is the equivalent 5x5 kernel for 2x 3x3 dilation
00000   010    00100   010    01110
00000          00000          00100

然后应用两次 3x3 原始扩张内核相当于在更大的图像上应用这个 5x5 扩张内核。例如:

0000000000                   0000000000    00100
0000000000   010    010      0000000000    01110
0011100000 + 111  + 111  === 0011100000 +  11111
0000001000   010    010      0000001000    01110
0000000000                   0000000000    00100
0000000000                   0000000000

但这并不能直接回答您的问题。但是，我不能只使用“评论”，因为很难(如果不是不可能的话)格式化所有这些方程/解释。

事实上，对于用于膨胀的较大组合内核的二值图像(每个像素中只有值 0 或 1 的图像)的证明很容易:

让我们定义二元运算符 +是扩张操作符，其中第一个操作数是核，第二个操作数是要扩张的图像。所以，如果我们想对图像进行扩张I带内核 K , 我们写 dilated-image = K + I
让我们定义二元运算符 U成为 union 运算符，或者换句话说，每个像素的二元“或”运算符，其中 U 的两个操作数必须是相同维度的二值图像。例如:A U B表示对 A 和 B 的每个对应像素执行 -OR-:

A= 0 0 1   B= 0 1 1
   1 0 1      1 1 1
   1 1 0      0 1 0

然后

A U B = 0 1 1
        1 1 1
        1 1 0

我们还定义了 U A(i), i=1, ..., n to be A(1) U A(2) U ... U A(n) .

让我们定义 K^n通过应用 n 倍核 K 成为膨胀式较大核在单个中心点图像上。

请注意，任何图像 I ，我们可以将其分解为单点图像的并集。例如，

    0 1 0      0 1 0     0 0 0     0 0 0
I = 0 0 0  === 0 0 0  U  0 0 0  U  0 0 0
    1 0 1      0 0 0     1 0 0     0 0 1

现在是时候证明这一点了:

对于任何图像 I ，我们定义 D(i), i = 1, ..., n成为I的单点分解,
因此 I = U D(i), i = 1, ..., n
根据二元膨胀的定义，K + I == K + (U D(i)) == U (K+D(i)) .
(请记住，扩张是在 K 的每个像素上屏蔽内核 I，并标记所有对应的 1)。

现在，让我们看看什么是 K + (K + I) :

K + (K + I) == K + U (K + D(i)) 
            == U(K + (K + D(i)))     (Note: this is tricky. see Theorem 1 below)
            == U (K^2 + D(i))        (by definition of K^2)
            == K^2 + U D(i)          (by definition of the dilation)
            == K^2 + I               (since I = U D(i))

现在，我们已经知道 K + (K + I) == K^2 + I ，并且很容易应用数学归纳法来证明 K + K + K .. + K + I = K^n + I (注意:请应用正确的关联，因为我已经去掉了括号)。

定理 1:证明 K + U (K + D(i)) 的推论至 U(K + (K+D(i)))
只需证明对于相同维度的任意两个二值图像 A 和 B，K + (A U B) = (K+A) U (K+B)
很容易看出，如果我们分解图像 A和 B , 并应用内核 K在分解图像上，那些公共(public)点(即 A 和 B 的交点，或 A 和 B 的公共(public) 1 点)在应用内核 K 后将贡献相同的结果点.并且根据膨胀的定义，我们需要将 A 和 B 的每个分解图像贡献的所有点 union 起来。因此定理 1 成立。

=== 更新 ===

关于kid.abr 的评论“27 个操作与 49 个操作的 7x7 内核相比”:
一般来说，不是27次操作。这取决于。例如，100x100 像素的源图像，
有 20 个奇异点 (1) 稀疏分布。在其上应用 3x3 固体内核(即全 1)3 次
对于 20 个奇异点中的每一个，都需要以下步骤:

循环 1:9 次操作，并产生 9 个点。

循环 2:对于生成的 9 个点中的每一个，都需要 9 次操作 => 9 x 9 = 81 步。它产生 25 个点

循环 3:对于生成的 25 个点中的每一个，它需要 9 次操作 => 25 x 9 = 225 步。

总计:9 + 81 + 225 = 315 步。

请注意，当我们访问源图像中值为 0 的像素时，我们不需要应用内核
在这一点上，对吧？

所以，同样的情况应用更大的内核，它需要 7x7 = 49 步。

然而，如果源图像具有很大的 1 实心区域，则 3 步法会胜出。