R 可以解决欠定线性系统:
A = matrix((1:12)^2,3,4,T)
B = 1:3
qr(A)$rank # 3
qr.solve(A, B) # solutions will have one zero, not necessarily the same one
# 0.1875 -0.5000 0.3125 0.0000
solve(qr(A, LAPACK = TRUE), B)
# 0.08333333 -0.18750000 0.00000000 0.10416667
(它给出了无数解决方案中的一个解决方案)。
但是，如果排名(此处为 2)低于行数(此处为 3)，则它将不起作用:
A = matrix(c((1:8)^2,0,0,0,0),3,4,T)
B = c(1,2,0)
A
# [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,] 1 4 9 16
# [2,] 25 36 49 64
# [3,] 0 0 0 0
qr.solve(A, B) # Error in qr.solve(A, B) : singular matrix
solve(qr(A, LAPACK = TRUE), B) # Error in qr.coef(a, b) : error code 3
但是这个系统确实有解决方案!
我知道一般的解决方案是使用 SVD 或 A 的广义/伪逆(参见 this question 及其答案)，但是:
是否有一种方法可以使用 solve 或 qr.solve 自动将系统 AX=B 简化为仅等级(A )行，其中 qr.solve(C, D) 可以开箱即用？
示例:
C = matrix(c((1:8)^2),2,4,T)
D = c(1,2)
qr.solve(C, D)
# -0.437500 0.359375 0.000000 0.000000
最佳答案
qr.coef 和 qr 似乎可以完成这项工作:
(A <- matrix(c((1:8)^2, 0, 0, 0, 0), nrow = 3, ncol = 4, byrow = TRUE))
# [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,] 1 4 9 16
# [2,] 25 36 49 64
# [3,] 0 0 0 0
(B <- c(1, 2, 0))
# [1] 1 2 0
(X0 <- qr.coef(qr(A), B))
# [1] -0.437500 0.359375 NA NA
X0[is.na(X0)] <- 0
X0
# [1] -0.437500 0.359375 0.000000 0.000000
# Verification:
A %*% X0
# [,1]
# [1,] 1
# [2,] 2
# [3,] 0
第二个例子:
(A<-matrix(c(1, 2, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0), nrow = 3, ncol = 4, byrow = TRUE))
# [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,] 1 2 0 0
# [2,] 1 2 0 0
# [3,] 1 2 1 0
(B<-c(1, 1, 2))
# [1] 1 1 2
qr.solve(A, B)
# Error in qr.solve(A, B) : singular matrix 'a' in solve
(X0 <- qr.coef(qr(A), B))
# [1] 1 NA 1 NA
X0[is.na(X0)] <- 0
X0
# [1] 1 0 1 0
A %*% X0
# [,1]
# [1,] 1
# [2,] 1
# [3,] 2
关于r - 用 R 求解欠定线性系统，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/53009467/