c - "decode"sin泰勒级数的近似值

Question

我使用泰勒级数来计算sin()。罪恶的泰勒级数是:

我正在使用的实现如下所示:

float sine(float x, int j)
{
    float val = 1;

    for (int k = j - 1; k >= 0; --k)
        val = 1 - x*x/(2*k+2)/(2*k+3)*val;

    return x * val;
}

据我所知，该代码是多项式的 j 项的近似值(换句话说，该近似值是从零到 j 的总和，而不是从零到无穷大)，公式中k就是n，当然x就是x。

我试图理解这个实现，即从上面的公式到代码的转换。我的目标是为 cos() 系列编写相同类型的实现。

你能帮我理解这一点吗？

Answer 1

它是一个 McLaurin 级数，但编写它是为了减少利用级数通用项的递推公式的计算次数。

余弦的版本如下(以及一个简单的测试工具):

#include <stdio.h>
#include <math.h>

float cosine(float x, int j)
{
    float val = 1;
    for (int k = j - 1; k >= 0; --k)
        val = 1 - x*x/(2*k+2)/(2*k+1)*val;
    return val;
}

int main( void )
{
    for( double x = 0.0; x <= 1.57; x += 0.1 )
    {
        printf("%10g    %10g    %10g\n", x, cos(x), cosine(x, 5));
    }
    return 0;
}

编辑(用 LaTeX 创建的图像替换丑陋的数学文本)

为了理解这个技巧，让我们重点关注 sine 示例并回顾一下正弦函数的 McLaurin 展开式:

现在让我们展开直到第 5 项 (N=5)，忽略余数 R 并执行一些涉及 x² 项因式分解的重写。结果步骤如下所述，其中重写的子表达式用方括号中的数字标记:

C 函数只是这种自下而上的递归重写的实现，即上述模式中最后一步出现的内容首先在 sine 函数中计算(该示例是相对于使用 j==4 进行调用，以便循环变量 k 以值 3 开始，并下降到 0) .