c++ - 我需要帮助来理解如何找到代码段的 Big-Oh

Question

我的计算机科学 II 期末考试将于明天举行，我需要一些帮助来了解如何找到代码段的 Big-Oh。我在互联网上进行了搜索，但未能找到任何我需要如何理解它的示例。

这是我们最终示例中的一个问题:

for(int pass = 1; i <= n; pass++)
{
    for(int index = 0; index < n; index++) 
        for(int count = 1; count < n; count++) 
        {
            //O(1) things here.
        }
    }
}

我们应该找到算法的顺序 (Big-Oh)。

我认为是 O(n^3)，这是我得出这个结论的方式

for(int pass = 1; i <= n; pass++) // Evaluates n times
{
    for(int index = 0; index < n; index++) // Evaluates n * (n+1) times
        for(int count = 1; count < n; count++) // Evaluates n * n * (n) times
        {
            //O(1) things here. 
        }
    }
}
// T(n) = (n) + (n^2 + n) + n^3
// T(n) = n^3 + n^2 + 2n
// T(n) <= c*f(x)
// n^3 + n^2 + 2n <= c * (n^3)
// O(n) = n^3

我只是不确定我是否做对了。有人可以解释如何评估这样的代码和/或确认我的答案吗？

Answer 1

是的，是O(n^3) .然而:

for(int pass = 1; pass <= n; pass++) // Evaluates n times
{                 //^^i should be pass

    for(int index = 0; index < n; index++) //Evaluates n times
       for(int count = 1; count < n; count++)  // Evaluates n-1 times
       {
            //O(1) things here. 
       }
    }
}

因为你有三层嵌套 for 循环，嵌套循环将被评估 n *n * (n-1)次，最内层 for 循环中的每个操作都需要 O(1) 时间，所以总共有 n^3 - n^2常量运算，即O(n^3)按增长顺序。

关于如何用大 O 表示法衡量增长顺序的一个很好的总结可以在这里找到:

Big O Notation MIT

上述文件的引用部分:

Nested loops

 for I in 1 .. N loop
    for J in 1 .. M loop
      sequence of statements
    end loop;
 end loop;

The outer loop executes N times. Every time the outer loop executes, the inner loop executes M times. As a result, the statements in the inner loop execute a total of N * M times. Thus, the complexity is O(N * M). In a common special case where the stopping condition of the inner loop is J <N instead of J <M (i.e., the inner loop also executes N times), the total complexity for the two loops is O(N^2).

类似的理由也适用于您的案例。