z3 - 同一公理的编码差异

Question

我想知道同一列表公理的这两种编码之间有什么区别:

(define-sort T1 () Int)

(declare-fun list_length ( (List T1) ) Int)

(assert (forall ( (i T1) (l (List T1)) )
                (ite (= l (as nil (List T1)))
                     (= (list_length l) 0)
                     (= (list_length (insert i l)) (+ 1 (list_length l))))))

和

(define-sort T1 () Int)

(declare-fun list_length ( (List T1) ) Int)

(assert (= (list_length (as nil (List T1))) 0))

(assert (forall ( (i T1) (l (List T1)) )
                (= (list_length (insert i l)) (+ 1 (list_length l)))))

对于此基准测试:

(declare-const a T1)
(declare-const b T1)

(assert (not
         (= (list_length (insert b (insert a (as nil (List T1))))) 2)))

(check-sat)

不知何故，z3 能够推理第二个版本，但不能推理第一个版本(它似乎永远循环)。

编辑:与 cvc4 相同，第一个版本返回未知。

Answer 1

带有量词的一阶逻辑本质上是半可判定的。在 SMT 上下文中，这意味着没有决策过程可以正确回答每个查询，例如 sat/unsat。

(撇开理论不谈，其实没那么重要:如果完全忽略效率考虑，那么有一些算法可以正确回答所有可满足的查询，但是没有算法可以正确推导unsat。在后一种情况下，它们会永远循环。但这是一个题外话。)

因此，为了处理量词，SMT 求解器通常采用一种称为 E 匹配的技术。本质上，当他们形成提及未解释函数的基础术语时，他们会尝试实例化量化公理以匹配它们并相应地重写。这种技术在实践中非常有效，并且可以很好地解决典型的软件验证问题，但它显然不是万能的。详情参见这篇论文:https://pdfs.semanticscholar.org/4eb2/c5e05ab5c53f20c6050f8252a30cc23561be.pdf .

关于你的问题:本质上，当你有公理的 ite 形式时，电子匹配算法根本无法找到正确的替换来实例化你的公理。出于效率考虑，电子匹配器实际上会查看几乎“精确”的匹配。 (对此持保留态度；它比那更聪明，但聪明不了太多。)在实践中，太聪明几乎不会有返回，因为你最终可能会生成太多的匹配，并最终导致搜索空间爆炸。和往常一样，这是实用性、效率和覆盖尽可能多的案例之间的平衡。

Z3 允许指定模式在一定程度上指导搜索，但模式使用起来相当棘手且脆弱。 (我已经向您指出了模式文档中的正确位置，可惜 z3 文档站点暂时关闭，正如您自己注意到的那样!)您可能想尝试一下它们，看看它们是否能给您带来更好的结果。但经验法则是让量化公理尽可能简单明了。与第一个变体相比，您的第二个变体恰恰做到了这一点。对于这个特定问题，一定要把公理分成两部分，并分别断言这两部分以覆盖 nil/insert 情况。将它们组合成一条规则超出了当前电子匹配器的能力。