我有兴趣找到截断的正态随机向量的均值和协方差。假设Y
是一个包含[Y1 Y2 Y3]
的向量。 Y
遵循多元正态分布,具有以下均值和协方差:
mu <- c(0.5, 0.5, 0.5)
sigma <- matrix(c( 1, 0.6, 0.3,
0.6, 1, 0.2,
0.3, 0.2, 2), 3, 3)
截断区域是 Y
的集合,使得 AY >= 0
。例如,
A <- matrix(c(1, -2, -0.5, 1.5, -2, 0, 3, -1, -1, 4, 0, -2), byrow = TRUE, nrow = 4)
> A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1.0 -2 -0.5
[2,] 1.5 -2 0.0
[3,] 3.0 -1 -1.0
[4,] 4.0 0 -2.0
对于下面的Y
抽奖,它不满足AY >= 0
:
set.seed(3)
Y <- rmvnorm(n = 1, mean = mu, sigma = sigma)
> all(A %*% as.matrix(t(Y)) >= 0)
[1] FALSE
但对于 Y
的其他绘制,它们将满足 AY >= 0
,我想找到这些 Y
的均值和协方差> 满足 AY >= 0
。
R 中现有的软件包可以计算截断正态分布的均值和协方差。例如,tmvtnorm
包中的 mtmvnorm
:
library(tmvtnorm)
mtmvnorm(mu, sigma, lower = ???, upper = ???)
但是,我拥有的截断集,即满足 AY >= 0
的 Y
集,不能仅用 lower
来描述code> 和 上限
。 R 是否有另一种方法来计算截断法线的均值和协方差?
最佳答案
您正确理解(或者可能注意到)这是不是截断的多元正态分布。您将 AY>=0
作为 Y
的线性约束,而不是简单的元素方式下限/上限。
如果您不是数学专家,即追求均值和协方差的显式解决方案,我想一个简单而有效的方法是使用蒙特卡罗模拟。
更具体地说,您可以假设足够大的 N
来生成足够大的样本 Y
集,然后过滤掉满足约束 AY>=0
的样本。反过来,您可以计算所选样本的平均值和协方差。尝试如下
N <- 1e7
Y <- rmvnorm(n = N, mean = mu, sigma = sigma)
Y_h <- subset(Y, colSums(tcrossprod(A, Y) >= 0) == nrow(A))
mu_h <- colMeans(Y_h)
sigma_h <- cov(Y_h)
你会看到
> mu_h
[1] 0.8614791 -0.1365222 -0.3456582
> sigma_h
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.5669915 0.29392671 0.37487421
[2,] 0.2939267 0.36318397 0.07193513
[3,] 0.3748742 0.07193513 1.37194669
另一种方法遵循类似的想法,但我们可以假设所选样本的集合大小,即 N
样本 Y
全部应该使 AY>=0
成立。然后我们可以使用while
循环来做到这一点
N <- 1e6
Y_h <- list()
nl <- 0
while (nl < N) {
Y <- rmvnorm(n = N, mean = mu, sigma = sigma)
v <- subset(Y, colSums(tcrossprod(A, Y) >= 0) == nrow(A))
nl <- nl + nrow(v)
Y_h[[length(Y_h) + 1]] <- v
}
Y_h <- head(do.call(rbind, Y_h), N)
mu_h <- colMeans(Y_h)
sigma_h <- cov(Y_h)
你会看到
> mu_h
[1] 0.8604944 -0.1364895 -0.3463887
> sigma_h
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.5683498 0.29492573 0.37524248
[2,] 0.2949257 0.36352022 0.07252898
[3,] 0.3752425 0.07252898 1.37427521
注意:第二个选项的优点是,它为您提供了足够数量的所选 Y_h
。
关于R:如何计算截断正态分布的均值和协方差,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/67826033/