python - 复厄米矩阵 : different phase angles for EIG and EIGH 的特征分析

Question

我知道特征向量仅定义为乘法常数。据我所知numpy算法(例如 linalg.eig 、 linalg.eigh 、 linalg.svd )为 产生相同的特征向量实矩阵 ，所以显然他们使用相同的归一化。然而，在复杂矩阵的情况下，算法会产生不同的结果。

也就是说，特征向量在(复数)常数 z 之前是相同的。 .经过一些试验 eig和 eigh我意识到 eigh对于每个特征向量的第一个分量，始终将相位角(定义为 arctan(复数部分/实数部分))设置为 0，而 eig似乎从一些(任意？)非零相位角开始。

问:有没有办法对来自 eigh 的特征向量进行归一化？顺便eig是在做吗(即不是强制相位角 = 0)？

例子

我有一个复杂的厄密矩阵 G我想使用以下两种算法计算特征向量:

numpy.linalg.eig真正的/复方阵

numpy.linalg.eigh对于实对称/复厄米矩阵 (1 的特殊情况。)

检查 G 是否为厄密

# check if a matrix is hermitian
def isHermitian(a, rtol=1e-05, atol=1e-08):
    return np.allclose(a, a.conjugate().T, rtol=rtol, atol=atol)

print('G is hermitian:', isHermitian(G))

出去:

G is hermitian: True

进行特征分析

# eigenvectors from EIG()
l1,u1 = np.linalg.eig(G)
idx = np.argsort(l1)[::-1]
l1,u1 = l1[idx].real,u1[:,idx]

# eigenvectors from EIGH()
l2,u2 = np.linalg.eigh(G)
idx = np.argsort(l2)[::-1]
l2,u2 = l2[idx],u2[:,idx]

检查特征值

print('Eigenvalues')
print('eig\t:',l1[:3])
print('eigh\t:',l2[:3])

出去:

Eigenvalues
eig     : [2.55621629e+03 3.48520440e+00 3.16452447e-02]
eigh    : [2.55621629e+03 3.48520440e+00 3.16452447e-02]

两种方法产生相同的特征向量。

检查特征向量

现在看看特征向量(例如 3. eigenvector)，它们相差一个常数因子 z .

multFactors = u1[:,2]/u2[:,2]
if np.count_nonzero(multFactors[0] == multFactors):
    print("All multiplication factors are same:", multFactors[0])
else:
    print("Multiplication factors are different.")

出去:

All multiplication factors are same: (-0.8916113627685007+0.45280147727156245j)

检查相位角

现在检查 3. 特征向量的第一个分量的相位角:

print('Phase angel (in PI) for first point:')
print('Eig\t:',np.arctan2(u1[0,2].imag,u1[0,2].real)/np.pi)
print('Eigh\t:',np.arctan2(u2[0,2].imag,u2[0,2].real)/np.pi)

出去:

Phase angel (in PI) for first point:
Eig     : 0.8504246311627189
Eigh    : 0.0

重现图的代码

num = 2
fig = plt.figure()
gs = gridspec.GridSpec(2, 3) 
ax0 = plt.subplot(gs[0,0])
ax1 = plt.subplot(gs[1,0])
ax2 = plt.subplot(gs[0,1:])
ax3 = plt.subplot(gs[1,1:])
ax2r= ax2.twinx()
ax3r= ax3.twinx()
ax0.imshow(G.real,vmin=-30,vmax=30,cmap='RdGy')
ax1.imshow(G.imag,vmin=-30,vmax=30,cmap='RdGy')
ax2.plot(u1[:,num].real,label='eig')
ax2.plot((u2[:,num]).real,label='eigh')
ax3.plot(u1[:,num].imag,label='eig')
ax3.plot((u2[:,num]).imag,label='eigh')
for a in [ax0,ax1,ax2,ax3]:
    a.set_xticks([])
    a.set_yticks([])
ax0.set_title('Re(G)')
ax1.set_title('Im(G)')
ax2.set_title('Re('+str(num+1)+'. Eigenvector)')
ax3.set_title('Im('+str(num+1)+'. Eigenvector)')
ax2.legend(loc=0)
ax3.legend(loc=0)
fig.subplots_adjust(wspace=0, hspace=.2,top=.9) 
fig.suptitle('Eigenanalysis of Hermitian Matrix G',size=16)
plt.show()

Answer 1

根据我的经验(这里有很多问题可以支持这一点)，您 从不 想用eig当eigh是一个选项 - eig非常缓慢且非常不稳定。与此相关的是，我相信您的问题是倒退的 - 您想对 eig 的特征向量进行归一化。和 eigh 的一样，这你知道怎么做。