遵循章节GeneralRec 中给出的示例在 Chlipala 书中,我正在尝试编写归并排序算法。
这是我的代码
Require Import Nat.
Fixpoint insert (x:nat) (l: list nat) : list nat :=
match l with
| nil => x::nil
| y::l' => if leb x y then
x::l
else
y::(insert x l')
end.
Fixpoint merge (l1 l2 : list nat) : list nat :=
match l1 with
| nil => l2
| x::l1' => insert x (merge l1' l2)
end.
Fixpoint split (l : list nat) : list nat * list nat :=
match l with
| nil => (nil,nil)
| x::nil => (x::nil,nil)
| x::y::l' =>
let (ll,lr) := split l' in
(x::ll,y::lr)
end.
Definition lengthOrder (l1 l2 : list nat) :=
length l1 < length l2.
Theorem lengthOrder_wf : well_founded lengthOrder.
Admitted.
问题是不能用命令
Fixpoint
写mergeSort函数。因为函数在结构上没有递减:Fixpoint mergeSort (l: list nat) : list nat :=
if leb (length l) 1 then l
else
let (ll,lr) := split l in
merge (mergeSort ll) (mergeSort lr).
相反,可以使用命令
Program Fixpoint
或 Definition
使用术语 Fix
(如在 Chlipala 书中)。但是,如果我正在写这个
Definition mergeSort : list nat -> list nat.
refine (Fix lengthOrder_wf (fun (l: list nat) => list nat)
(fun (l : list nat) => (fun mergeSort : (forall ls : list nat, lengthOrder ls l -> list nat )=>
if leb (length l) 1 then
let (ll,lr) := split l in
merge (mergeSort ll _) (mergeSort lr _)
else
l))).
我得到了不可能的目标:
2 subgoals, subgoal 1 (ID 65)
l : list nat
mergeSort : forall ls : list nat, lengthOrder ls l -> list nat
ll, lr : list nat
============================
lengthOrder ll l
subgoal 2 (ID 66) is:
lengthOrder lr l
这就是为什么 Chlipala 建议以这种方式更改 mergeSort 的定义:
Definition mergeSort : list nat -> list nat.
refine (Fix lengthOrder_wf (fun _ => list nat)
(fun (ls : list nat)
(mergeSort : forall ls' : list nat, lengthOrder ls' ls -> list nat) =>
if Compare_dec.le_lt_dec 2 (length ls)
then let lss := split ls in
merge (mergeSort (fst lss) _) (mergeSort (snd lss) _)
else ls)).
产生以下目标:
2 subgoals, subgoal 1 (ID 68)
ls : list nat
mergeSort : forall ls' : list nat, lengthOrder ls' ls -> list nat
l : 2 <= length ls
lss := split ls : list nat * list nat
============================
lengthOrder (fst lss) ls
subgoal 2 (ID 69) is:
lengthOrder (snd lss) ls
这个新定义对我来说听起来很神奇。所以我想知道:
最佳答案
很容易看出,您需要进行两项更改才能获得 A. Chlipala 的解决方案。
1)做split
的时候你需要记住ll
和 lr
来自split,否则它们将是一些任意列表,它们不可能比原始列表l
短.
以下代码无法保存此类信息:
let (ll,lr) := split l in
merge (mergeSort ll _) (mergeSort lr _)
因此,需要替换为
let lss := split ls in
merge (mergeSort (fst lss) _) (mergeSort (snd lss) _)
它保留了我们需要的东西。
失败是由于 Coq 无法记住
ll
和 lr
来自 split l
发生这种情况是因为 let (ll,lr)
只是 match
变相(参见手册,§2.2.3)。回想一下,模式匹配的目的是(松散地说)
现在,观察
split l
在我们对其进行模式匹配之前,它不会出现在目标或上下文中的任何地方。我们只是随意地将其引入定义中。这就是为什么模式匹配没有给我们任何东西——我们不能替换 split l
在目标或上下文中使用其“特殊情况”( (ll,lr)
),因为没有 split l
任何地方。通过使用逻辑相等(
=
),还有另一种方法:(let (ll, lr) as s return (s = split l -> list nat) := split l in
fun split_eq => merge (mergeSort ll _) (mergeSort lr _)) eq_refl
这类似于使用
remember
战术。我们已经摆脱了 fst
和 snd
,但这是一个巨大的矫枉过正,我不会推荐它。2) 我们需要证明的另一件事是
ll
和 lr
短于 l
当2 <= length l
.由于
if
-表达式是 match
变相也是如此(它适用于具有恰好两个构造函数的任何归纳数据类型),我们需要一些机制来记住 leb 2 (length l) = true
在 then
分支。同样,因为我们没有 leb
在任何地方,这些信息都会丢失。该问题至少有两种可能的解决方案:
leb 2 (length l)
作为一个方程(就像我们在第一部分中所做的那样),或 bool
(因此它可以代表两种选择),但它还应该记住我们需要的一些额外信息。然后我们可以对比较结果进行模式匹配并提取信息,当然,在这种情况下必须是 2 <= length l
的证明。 . 我们需要的是能够携带
m <= n
证明的类型在 leb m n
的情况下返回 true
和一个证明,比如说,m > n
除此以外。标准库中有一种类型可以做到这一点!它被称为
sumbool
:Inductive sumbool (A B : Prop) : Set :=
left : A -> {A} + {B} | right : B -> {A} + {B}
{A} + {B}
只是 sumbool A B
的符号(语法糖) .就像
bool
,它有两个构造函数,但另外它还记得两个命题之一的证明 A
和 B
.它的优势超过 bool
当您使用 if
对其进行案例分析时显示: 你得到 A
的证明在 then
分支和 B
的证明在 else
分支。换句话说,您可以使用事先保存的上下文,而 bool
不携带任何上下文(仅在程序员的脑海中)。而我们正是需要的!好吧,不在
else
分支,但我们想得到 2 <= length l
在我们的then
分支。所以,让我们问问 Coq 是否已经有一个返回类型的比较函数:Search (_ -> _ -> {_ <= _} + {_}).
(*
output:
le_lt_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {m < n}
le_le_S_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {S m <= n}
le_ge_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {n >= m}
le_gt_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {n > m}
le_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {~ n <= m}
*)
这五个结果中的任何一个都可以,因为我们只需要在一种情况下进行证明。
因此,我们可以替换
if leb 2 (length l) then ...
与 if le_lt_dec 2 (length l) ...
并获取 2 <= length
在证明上下文中,这将使我们完成证明。
关于coq - 使用 Fix 或 Program Fixpoint 在 Coq 中编写有根据的程序,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/42285235/