math - 用 Mathematica 求解矩阵微分方程

Question

我需要在 Mathematica 中求解这个方程:

d/dx v(x) = A . v(x)

这里v是列向量 {v1(x),v2(x),v3(x),v4(x)} 和 A 是一个4 x 4 矩阵。 我想求解具有任何初始条件的函数 v1、v2、v3、v4。 x 的取值范围为 0 到 1000。

如何使用 NDSolve 为此类微分方程编写 Mathematica 代码？

Answer 1

所以，如果你有一些可怕的矩阵

A =  RandomReal[0.1, {4, 4}]; (* A horrible matrix *)

我们将其设为反对称(因此解是振荡的)

A = A - Transpose@A;

定义函数向量及其初始条件

v[x_] := {v1[x], v2[x], v3[x], v4[x]};

init = v[0] == RandomReal[1, 4]

然后 NDSolve 命令看起来像

sol = NDSolve[LogicalExpand[v'[x] == A.v[x] && init], 
        {v1, v2, v3, v4}, {x, 0, 1000}]

解决方案可以用

Plot[Evaluate[v[x] /. sol], {x, 0, 1000}]

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请注意，上述微分方程是线性的、具有常系数的一阶方程，因此可以使用矩阵指数简单地求解。 但是，如果矩阵 A 是 x 的函数，则解析解变得困难，但数值代码保持不变。

例如，尝试:

A = RandomReal[1/10, {4, 4}] - Exp[-RandomReal[1/100, {4, 4}] x^2];
A = A - Transpose@A;

可以生成如下的解决方案