`glmnet` 的岭回归给出的系数与我通过 "textbook definition"计算的不同？

Question

我正在使用 glmnet 运行岭回归R包裹。我注意到我从 glmnet::glmnet 获得的系数函数与我通过定义计算系数得到的函数不同(使用相同的 lambda 值)。有人可以解释我为什么吗？

数据(均:响应 Y 和设计矩阵 X)被缩放。

library(MASS)
library(glmnet)

# Data dimensions
p.tmp <- 100
n.tmp <- 100

# Data objects
set.seed(1)
X <- scale(mvrnorm(n.tmp, mu = rep(0, p.tmp), Sigma = diag(p.tmp)))
beta <- rep(0, p.tmp)
beta[sample(1:p.tmp, 10, replace = FALSE)] <- 10
Y.true <- X %*% beta
Y <- scale(Y.true + matrix(rnorm(n.tmp))) # Y.true + Gaussian noise

# Run glmnet 
ridge.fit.cv <- cv.glmnet(X, Y, alpha = 0)
ridge.fit.lambda <- ridge.fit.cv$lambda.1se

# Extract coefficient values for lambda.1se (without intercept)
ridge.coef <- (coef(ridge.fit.cv, s = ridge.fit.lambda))[2:(p.tmp+1)]

# Get coefficients "by definition"
ridge.coef.DEF <- solve(t(X) %*% X + ridge.fit.lambda * diag(p.tmp)) %*% t(X) %*% Y

# Plot estimates
plot(ridge.coef, type = "l", ylim = range(c(ridge.coef, ridge.coef.DEF)),
     main = "black: Ridge `glmnet`\nred: Ridge by definition")
lines(ridge.coef.DEF, col = "red")

Answer 1

如果您阅读 ?glmnet ，你会看到高斯响应的惩罚目标函数是:

1/2 * RSS / nobs + lambda * penalty

万一岭罚1/2 * ||beta_j||_2^2被使用，我们有

1/2 * RSS / nobs + 1/2 * lambda * ||beta_j||_2^2

与

RSS + lambda * nobs * ||beta_j||_2^2

这与我们通常在教科书中看到的关于岭回归的内容不同:

RSS + lambda * ||beta_j||_2^2

你写的公式:

##solve(t(X) %*% X + ridge.fit.lambda * diag(p.tmp)) %*% t(X) %*% Y
drop(solve(crossprod(X) + diag(ridge.fit.lambda, p.tmp), crossprod(X, Y)))

是为了教科书的结果；为 glmnet我们应该期待:

##solve(t(X) %*% X + n.tmp * ridge.fit.lambda * diag(p.tmp)) %*% t(X) %*% Y
drop(solve(crossprod(X) + diag(n.tmp * ridge.fit.lambda, p.tmp), crossprod(X, Y)))

所以，教科书使用惩罚最小二乘 ，但是 glmnet用途 惩罚均方误差 .

注意我没有将您的原始代码用于 t() , "%*%"和 solve(A) %*% b ;使用 crossprod和 solve(A, b)效率更高!见最后的跟进部分。

现在让我们做一个新的比较:

library(MASS)
library(glmnet)

# Data dimensions
p.tmp <- 100
n.tmp <- 100

# Data objects
set.seed(1)
X <- scale(mvrnorm(n.tmp, mu = rep(0, p.tmp), Sigma = diag(p.tmp)))
beta <- rep(0, p.tmp)
beta[sample(1:p.tmp, 10, replace = FALSE)] <- 10
Y.true <- X %*% beta
Y <- scale(Y.true + matrix(rnorm(n.tmp)))

# Run glmnet 
ridge.fit.cv <- cv.glmnet(X, Y, alpha = 0, intercept = FALSE)
ridge.fit.lambda <- ridge.fit.cv$lambda.1se

# Extract coefficient values for lambda.1se (without intercept)
ridge.coef <- (coef(ridge.fit.cv, s = ridge.fit.lambda))[-1]

# Get coefficients "by definition"
ridge.coef.DEF <- drop(solve(crossprod(X) + diag(n.tmp * ridge.fit.lambda, p.tmp), crossprod(X, Y)))

# Plot estimates
plot(ridge.coef, type = "l", ylim = range(c(ridge.coef, ridge.coef.DEF)),
     main = "black: Ridge `glmnet`\nred: Ridge by definition")
lines(ridge.coef.DEF, col = "red")

请注意，我设置了 intercept = FALSE当我打电话时cv.glmnet (或 glmnet)。这比它在实践中会产生的影响具有更多的概念意义。从概念上讲，我们教科书的计算没有截距，所以我们想在使用 glmnet 时去掉截距。 .但实际上，由于您的 X和 Y标准化后，截距的理论估计值为 0。即使使用 intercepte = TRUE (glment 默认)，可以查看截距的估计是~e-17 (数字为 0)，因此其他系数的估计不会受到显着影响。另一个答案只是展示了这一点。

跟进

As for the using crossprod and solve(A, b) - interesting! Do you by chance have any reference to simulation comparison for that?

t(X) %*% Y会先取转置X1 <- t(X) ，然后做 X1 %*% Y , 而 crossprod(X, Y)不会做转置。 "%*%"是 DGEMM 的包装器案例 op(A) = A, op(B) = B , 而 crossprod是 op(A) = A', op(B) = B 的包装器.同样tcrossprod为 op(A) = A, op(B) = B' .
crossprod(X)的主要用途适用于 t(X) %*% X ;同样是 tcrossprod(X)为 X %*% t(X) ，在这种情况下 DSYRK 而不是 DGEMM叫做。您可以阅读 第一部分的 Why the built-in lm function is so slow in R?原因和基准。

请注意，如果 X不是方阵，crossprod(X)和 tcrossprod(X)速度不一样，因为它们涉及不同数量的浮点运算，您可以阅读 侧面通知的 Any faster R function than “tcrossprod” for symmetric dense matrix multiplication?

关于solvel(A, b)和 solve(A) %*% b ，请阅读第一部分的 How to compute diag(X %% solve(A) %% t(X)) efficiently without taking matrix inverse?