formula - 求解三次方以找到曲线上距离点最近的点

Question

好的，

我有一个射弹，其位置定义如下:

a.x = initialX + initialDX * time;

a.y = initialY + initialDY * time + 0.5 * gravtiy * time^2;

我希望能够预测该射弹将与我环境中的哪些障碍物发生碰撞。我计划检查从曲线上最近的点 A 到点 P 的距离。

我计算出在点A 处曲线的切线将垂直于向量AP，并且曲线在A< 处的切线/strong> 将只是射弹在该点的速度 V。

AP 点 V = 0

ap.x = initialX + initialDX * time - p.x;

ap.y = initialY + initialDY * time + gravity * time^2 - p.y;

v.x = initialDX;

v.y = initialDY + gravity * time;

=>

AP 点 V =

( 0.5 * gravity^2 ) * t^3 +

( 1.5 * gravity * initialDY  ) * t^2 +

( initialDX^2 + initialDY^2 + gravity * ( initialY - p.y ) ) * t +

( initialDX * ( initialX - p.x ) + initialDY * ( initialY - p.y ) )

从这里我可以看出这是一个三次函数。我花了一些时间在网上进行研究，发现有一个通用方程式似乎适用于某些值以求根。

这是我尝试实现的过程。 http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac11/fac11.html

a = 0.5 * gravity^2;

b = 1.5 * gravity * initialDY;

c = initialDX^2 + initialDY^2 + gravity * ( initialY - p.y );

d = initialDX * ( initialX - p.x ) + initialDY * ( initialY - p.y );

A = ( c - ( b * b ) / ( 3 * a ) ) / a;

B = -( d + ( 2 * b * b * b ) / ( 27 * a * a ) - ( b * c ) / ( 3 * a ) ) / a;

workingC = -Math.pow( A, 3 ) / 27;

u = ( -B + Math.sqrt( B * B - 4 * workingC ) ) / 2; // Quadratic formula

s = Math.pow( u + B, 1 / 3 );

t = Math.pow( u, 1 / 3 );

y = s - t;

x = y - b / ( 3 * a );

当我将 x 代入曲线的原始方程式中作为时间时，这应该给我 A。这似乎适用于某些值，但是当 p.y 高于某个值时，我没有正数可以在二次方程中取平方根。

我对数学的理解不够全面，无法理解为什么会发生这种情况，或者我可以做些什么来解决这个问题。

如有任何帮助，我们将不胜感激。

更新:

我已经调整了我的算法来处理复杂的根，但是我仍然遇到问题。 如果判别式为负，这就是我现在所做的:

a = 0.5 * gravity^2;

b = 1.5 * gravity * initialDY;

c = initialDX^2 + initialDY^2 + gravity * ( initialY - p.y );

d = initialDX * ( initialX - p.x ) + initialDY * ( initialY - p.y );

A = ( c - ( b * b ) / ( 3 * a ) ) / a;

B = -( d + ( 2 * b * b * b ) / ( 27 * a * a ) - ( b * c ) / ( 3 * a ) ) / a;

workingC = -Math.pow( A, 3 ) / 27;

discriminant = B * B - 4 * workingC;

then if discriminant < 0;

uc = new ComplexNumber( -B / 2, Math.sqrt( -discriminant ) / 2 ); 

tc = uc.cubeRoot( ); 

uc.a += B;

sc = uc.cubeRoot( ); 

yc = sc - tc; 

yc.a -= b / ( 3 * a ); 

x = -d / ( yc.a * yc.a + yc.b * yc.b ); 

出于某种原因，这仍然没有给我预期的结果。这里有什么明显的错误吗？

Answer 1

实数多项式可以有复数根，如果根不是实数，它们会以共轭对的形式出现。

这意味着三次方总是至少有一个实根。

现在如果你用你的方法得到一个复根，你可以尝试得到共轭，乘除三次常数，取倒数得到实根。

因此，如果您必须对 -ve 数求平方根，则等于将其模数的平方根乘以虚数“i”。

因此，如果您将根表示为 (m,n)，表示复数 m + in。那么另一个根就是m - in = (m, -n) m和n都是实数。

立方可以写成 P(x) = (x^2 - 2m + (m^2 + n^2))(x-r)。

所以如果 P(x) = x^3 - a_1 *x^2 + a_2*x - a_3，那么我们有 r = a_3/(m^2 + n^2)(a_3 是根，即 r(m^2+n^2))

获得 r 的更简单方法是使用公式 r = a_1 - 2m(a_1 是根的总和，即 r+2m)。

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