python - 莱布尼茨行列式公式复杂度

Question

我编写了一些代码，使用 Leibniz formula for determinants 计算给定 nxn 矩阵的行列式.

我试图用 O 表示法找出它的复杂性。 我认为应该是这样的: O(n!) * O(n^2) + O(n) = O(n!*n^2) 或 O((n+2)!) 推理:我认为 O(n!) 是排列的复杂度。 O(n) perm_parity 的复杂度，O(n^2) 是每次迭代 n 项的乘法。

这是我的代码:

def determinant_leibnitz(self):
    assert self.dim()[0] == self.dim()[1] # O(1)
    dim = self.dim()[0] # O(1)
    det,mul = 0,1 # O(1)
    for perm in permutations([num for num in range(dim)]):
        for i in range(dim):
            mul *= self[i,perm[i]] # O(1)
        det += perm_parity(perm)*mul # O(n) ?
        mul = 1 # O(1)
    return det

计算中还使用了我编写的以下函数:

perm_parity:给定数字 0..n 按顺序排列为列表， 返回其奇偶校验(或符号):+1 表示偶校验； -1 表示奇数。

我认为 perm_parity 应该以 O(n^2) 运行(正确吗？)。

def perm_parity(lst):
    parity = 1
    lst = lst[:]
    for i in range(0,len(lst) - 1):
        if lst[i] != i:
            parity *= -1
            mn = argmin(lst[i:]) + i
            lst[i],lst[mn] = lst[mn],lst[i]
    return parity 

argmin:返回列表中最小参数的索引。 我认为 argmin 应该以 O(n) 运行(正确吗？)

def argmin(lst):
    return lst.index(min(lst))

和排列:返回给定列表的所有排列。 例如:输入:[1,2,3]，输出[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1 , 2], [3, 2, 1]]。

我认为排列应该以 O(n!) 运行(正确吗？)

def permutations(lst):
    if len(lst) <= 1:
        return [lst]
    templst = []
    for i in range(len(lst)):
        part = lst[:i] + lst[i+1:]
        for j in permutations(part):
            templst.append(lst[i:i+1] + j)
    return templst

Answer 1

这是一个老问题，但仍然值得回答。

您正在寻找的复杂度是O((n+2)!)。
这是因为 O(n!) 的复杂度是:
for perm in permutations([num for num in range(dim)])
O(n) perm_parity 函数的复杂度。
O(n^2) 是每次迭代中相乘 n 项的复杂度。
这一切都给出O(n!)*O(n)*O(n^2)=O(n!n^2)=O((n+2)!)

(正如评论所述，在您的情况下，您甚至还会得到ϴ((n+2)!))