math - 映射 3D 空间中两个三角形之间的点

Question

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我不知道这是否重要，但目标三角形角度可能与源三角形角度不同。这个事实是否使转换非仿射？ (我不确定)



我在 3D 空间中有两个三角形。鉴于我知道第一个三角形中点的 (x,y,z) 并且我知道向量 V1,V2,V3。我需要找到点 (x',y',z')。我应该用向量 V1,V2,V3 指向 (x,y,z) 进行什么变换才能得到第二个三角形中的变换点？

感谢帮助 !!!

Answer 1

简短的回答是，这比最初看起来更复杂，并且您对问题施加的约束的性质需要一些比您想象的更先进的技术。

所以，作为一个解释，我将稍微改变你的符号。考虑 3 对向量(它们对应于问题中两个三角形的顶点):

u =
u' =

v =
v' =

w =
w' =

通常，您的问题将通过识别以下形式的线性变换来解决:

|a0,0 a0,1 a0,2 a0,3|
A = |a1,0 a1,1 a1,2 a1,3|
|a2,0 a2,1 a2,2 a2,3|
|0 0 0 1 |

使得:

金 = u'
Av = v'
噢 = w'

这个公式是必要的，因为变换似乎是一个 3-D 仿射变换，而不是一个 3-D 线性变换。如果是线性变换，则任何包含原点的三角形都必须映射到另一个包含原点的三角形。扩展到 4-D 空间允许使用 4-D 线性变换来执行 3-D 仿射变换。

也就是说，首先要注意的是这个问题是欠约束的(9 个方程有 12 个未知数)；没有唯一的解决方案。其实有无穷多个。然而，你的问题比这更受限制，所以有一些希望。给定一个向量，你有额外的约束

p =

找

Ap = p' =

这样(使用您的定义向量 a、b 和 c)

|u - p| |u' - p'|
------- = ---------
|u - a| |u' - Aa|

|v - p| |v' - p'|
------- = ---------
|v - b| |v' - 抗体|

|w - p| |w' - p'|
------- = ---------
|w - c| |w' - Ac|

虽然这对您的问题提出了额外的限制，但它将它从使用线性方法可以轻松解决的问题更改为需要 Convex Programming 的问题。找到一个独特的解决方案。

也就是说，这里有一些可能的方法:

继续使用凸规划来解决问题。虽然比线性问题更难解决，但它们并不是那么难解决。

恢复到 2D 情况，而不是 3D 情况。这可以在不求助于那些距离测量施加的非线性约束的情况下完成。

选择第四个点，而不是处理三角形，而是处理四面体。这再次消除了问题的非线性。

更新:我已经对此进行了一些思考，并且看到了一种无需使用凸编程即可生成正确仿射变换的方法。这可以通过为每个三角形生成第四个顶点来完成，称为 y和 y' :

y = u + (v-u)×(w-u)
y' = u' + (v'-u')×(w'-u')

哪里×是两个向量的 3-D 叉积(即省略每个向量中的最后一个 1；但记住在计算后将 1 附加到 y 和 y' 上)。从那里，您可以应用从列向量创建矩阵 M 和 M' 的标准技术:

M =
M' =

并使用 Steve Emmerson 建议的方法(在 4-D 而不是 3-D 中):

上午 = M'
AMM-1 = M'M-1
A = M'M-1