c++ - 如何进行笛卡尔变换

Question

我被引导相信笛卡尔变换是我需要的，但我不确定。这是我的问题。

我有两个坐标系，一个是全局 x,y,z，另一个是存在于 x,y,z 内部的局部 i,j,k

我知道本地系统在全局范围内的原点位置。让我们将其标记为 B。

我知道沿轴 i 和 j 的另外两个点 C 和 E。这意味着我的轴 i 可以由线 BC 定义，轴 j 由线 BE 定义。轴 k 将垂直于二维平面 i,j

如何将一个系统的坐标转换为另一个系统。

比如我知道D{x,y,z}，我知道D存在于局部坐标系中，我如何得到D{i,j,k}？另外，我该如何返回另一个方向？

如何: D{x,y,z} <-> D{i,j,k}

Answer 1

仿射变换由 3×1 平移 vector B 和 3×3 旋转矩阵 E 定义。现在您想要获取局部点 P=(i_P,j_P,k_P) 并将其转换为全局点 P'=(x_P,y_P,z_P)。这是由

    P' = B + E * P

1. 翻译很简单，B=(B_x, B_y, B_z)

2. 旋转矩阵定义为单位 vector i、j和k的全局坐标作为三列矩阵。

       | i_x  j_x  k_x |
   E = | i_y  j_y  k_y |
       | i_z  j_z  k_z |
   

要找到这些组件，请使用点坐标 B=(B_x, B_y, B_z)、C=(C_x, C_y, C_z) 和 E =(E_x, E_y, E_z)

1. 取 C 和 B 的差值，并将其作为 i 的单位 vector 。找到它们之间的距离为

   d_BC = sqrt( (B_x-C_x)^2 + (B_y-C_x)^2 + (B_z-C_z)^2 );
   

   组件是:

   i_x = (C_x-B_x)/d_BC;
   i_y = (C_y-B_y)/d_BC;
   i_z = (C_z-B_z)/d_BC;
   

2. 取 E 和 B 的差值，并将其作为 j 的单位 vector 。找到它们之间的距离为

   d_BE = sqrt( (B_x-E_x)^2 + (B_y-E_x)^2 + (B_z-E_z)^2 );
   

   组件是:

   j_x = (E_x-B_x)/d_BE;
   j_y = (E_y-B_y)/d_BE;
   j_z = (E_z-B_z)/d_BE;
   

3. k 的分量是使用 vector 叉积 k = i × j

   k_x = i_y*j_z - i_z*j_y;
   k_y = i_z*j_x - i_x*j_z;
   k_z = i_x*j_y - i*y*j_x;
   

现在是全面转型

x_P = B_x + i_x*i_P + j_x*j_P + k_x*k_P;
y_P = B_y + i_y*i_P + j_y*j_P + k_y*k_P;
z_P = B_z + i_z*i_P + j_z*j_P + k_z*k_P;

编辑 1

逆向变换为

    P = E'*(P'-B)

其中 E' 是 3×3 矩阵 E 的转置。在组件形式中，这是

i_P = i_x*(x_P-B_x) + i_y*(y_P-B_y) + i_z*(z_P-B_z);
j_P = j_x*(x_P-B_x) + j_y*(y_P-B_y) + j_z*(z_P-B_z);
k_P = k_x*(x_P-B_x) + k_y*(y_P-B_y) + k_z*(z_P-B_z);