nlp - 在潜在语义分析中，如何在截断奇异值后重新组合分解矩阵？

Question

我在看 Matrix decompositions and latent semantic indexing (网络版 ©
2009 剑桥大学)

我试图了解您如何减少矩阵中的维数。第 13 页上有一个示例，我正在尝试使用 Python's numpy 进行复制。 .

让我们称原始出现矩阵为“a”和三个 SVD (奇异值分解)分解矩阵“U”、“S”和“V”。

我遇到的问题是，在将“S”中较小的奇异值归零后，当我使用 numpy 将“U”、“S”和“V”相乘时，答案与 pdf 中给出的不同.底部 3 行不全为零。有趣的是，当我将“S”和“V”相乘时，我得到了正确的答案。

这有点令人惊讶，但乘以“S”和“V”实际上是曼宁和舒茨的《统计自然语言处理基础》一书所说的你必须做的。但这不是pdf在第10页中所说的你必须做的。

那么这里发生了什么？

Answer 1

将 S 和 V 相乘正是使用 SVD/LSA 执行降维所需要做的事情。

>>> C = np.array([[1, 0, 1, 0, 0, 0],
...               [0, 1, 0, 0, 0, 0],
...               [1, 1, 0, 0, 0, 0],
...               [1, 0, 0, 1, 1, 0],
...               [0, 0, 0, 1, 0, 1]])
>>> from scipy.linalg import svd
>>> U, s, VT = svd(C, full_matrices=False)
>>> s[2:] = 0
>>> np.dot(np.diag(s), VT)
array([[ 1.61889806,  0.60487661,  0.44034748,  0.96569316,  0.70302032,
         0.26267284],
       [-0.45671719, -0.84256593, -0.29617436,  0.99731918,  0.35057241,
         0.64674677],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
         0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
         0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
         0.        ]])

这给出了一个矩阵，其中除最后几行之外的所有行都是零，因此可以将它们删除，实际上这是您将在应用程序中使用的矩阵:

>>> np.dot(np.diag(s[:2]), VT[:2])
array([[ 1.61889806,  0.60487661,  0.44034748,  0.96569316,  0.70302032,
         0.26267284],
       [-0.45671719, -0.84256593, -0.29617436,  0.99731918,  0.35057241,
         0.64674677]])

PDF 在第 10 页描述的是获得输入 C 的低秩重构的方法。 Rank != 维度，以及重建矩阵的剪切大小和密度使得在 LSA 中使用不切实际；它的目的主要是数学上的。您可以用它做的一件事是检查重建对于 k 的各种值的效果:

>>> U, s, VT = svd(C, full_matrices=False)
>>> C2 = np.dot(U[:, :2], np.dot(np.diag(s[:2]), VT[:2]))
>>> from scipy.spatial.distance import euclidean
>>> euclidean(C2.ravel(), C.ravel())   # Frobenius norm of C2 - C
1.6677932876555255
>>> C3 = np.dot(U[:, :3], np.dot(np.diag(s[:3]), VT[:3]))
>>> euclidean(C3.ravel(), C.ravel())
1.0747879905228703

对 scikit-learn 的 TruncatedSVD 进行健全性检查(完全披露:我写的):

>>> from sklearn.decomposition import TruncatedSVD
>>> TruncatedSVD(n_components=2).fit_transform(C.T)
array([[ 1.61889806, -0.45671719],
       [ 0.60487661, -0.84256593],
       [ 0.44034748, -0.29617436],
       [ 0.96569316,  0.99731918],
       [ 0.70302032,  0.35057241],
       [ 0.26267284,  0.64674677]])