r - 当预测值没有变化时，为什么 lm 会返回值？

Question

考虑以下 R 代码(我认为最终会调用一些 Fortran):

X <- 1:1000
Y <- rep(1,1000)
summary(lm(Y~X))

为什么摘要返回值？由于 Y 没有变化，这个模型不应该不适合吗？更重要的是，为什么模型 R^2 ~= .5？

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我跟踪了从 lm 到 lm.fit 的代码，可以看到这个调用:

z <- .Fortran("dqrls", qr = x, n = n, p = p, y = y, ny = ny,
   tol = as.double(tol), coefficients = mat.or.vec(p, ny), residuals = y,
   effects = y, rank = integer(1L), pivot = 1L:p, qraux = double(p),
   work = double(2 * p), PACKAGE = "base")

这就是实际拟合似乎发生的地方。看着 http://svn.r-project.org/R/trunk/src/appl/dqrls.f ) 没有帮助我理解发生了什么，因为我不知道 fortran。

Answer 1

从统计上讲，我们应该期待什么(我想说“期望”，但这是一个非常具体的术语 ;-))？系数应该是 (0,1)，而不是“无法拟合”。假设 (X,Y) 的协方差与 X 的方差成正比，而不是相反。由于 X 具有非零方差，因此没有问题。由于协方差为 0，因此 X 的估计系数应为 0。因此，在机器容差范围内，这就是您得到的答案。

这里没有统计异常。可能存在统计上的误解。还有机器容差问题，但考虑到预测变量和响应值的规模，1E-19 数量级的系数可以忽略不计。

更新 1:可以在 this Wikipedia page 上找到简单线性回归的快速回顾.要注意的关键是Var(x)是分母，Cov(x,y)在分子中。在这种情况下，分子为 0，分母为非零，因此没有理由期望 NaN或 NA .然而，人们可能会问为什么 x 的结果系数不是0 ，这与 QR 分解的数值精度问题有关。