3d - 使用水平和垂直角度和斜距计算 3D 点坐标

Question

我正在尝试学习如何使用原点的 XYZ 坐标、水平和垂直角度以及 3d 距离来计算点的 XYZ 坐标。我可以简单地通过将点投影到 2D 平面上来进行计算，但是有没有更直接的方法可以在 3D 中做到这一点？

我试图了解测量全站仪如何根据其测量位置、它测量到新点的 3d(斜率)距离以及测量到的新点位置的水平和垂直角度来计算新点位置。

谢谢，

乙

Answer 1

关于约定的说明: 2D polar coordinates 经常使用 (radius, theta) ，其中 theta 是“水平”或“方位角”角。它的范围从: theta=0 ，X 轴上的 2D 点 (x,y) = (radius,0) 到: XY 平面上的 theta=2*PI - 随着 theta 增加，逆时针方向。现在混淆问题...

3D spherical coordinates(保持右手坐标系)经常使用坐标: (radius, theta, phi) 。在这种情况下，theta 用于“垂直”或“天顶”角度，范围从 theta=0(Z 轴)到 theta=PI(-Z 轴)。 phi 用于方位角。

其他文本将使用不同的约定 - 但这似乎受到物理学家和(某些)数学文本的青睐。重要的是您选择一个约定并始终如一地使用它。

在此之后:
radius : 到点的距离。给定笛卡尔坐标中的一个点 (x,y,z)，我们有(勾股)半径: r = sqrt(x * x + y * y + z * z) ，例如， 0 <= radius < +infinity
theta :天顶角，其中 theta=0 位于正上方(+Z 轴)，theta=PI 位于正下方(-Z 轴)，而 theta=PI/2 是您认为 0 度的“高度”，例如，
0 <= theta <= PI
phi :方位角，其中 phi=0 是“右”(+X 轴)，当您“逆时针”转动时，phi=PI/2(+Y 轴)、phi=PI(-X 轴)、phi=3*PI/2(-Y轴)和 phi=2*PI - 相当于 phi=0(回到 +X 轴)。例如， 0 <= phi < 2*PI

伪代码:(标准数学库三角函数)

从 (radius, theta, phi) 您可以找到点 (x,y,z) :
x = radius * sin(theta) * cos(phi);y = radius * sin(theta) * sin(phi);z = radius * cos(theta);
相反，您可以从 (radius, theta, phi) 中找到 (x,y,z) :
radius = sqrt(x * x + y * y + z * z);theta = acos(z / radius);phi = atan2(y, x);
注意:在最终方程中使用 atan2 很重要，而不是 atan !