无限/重复世界的数学/计算与旋转

Question

我如何制作一个处理旋转的无限/重复世界，就像在这个游戏中一样:

http://bloodfromastone.co.uk/retaliation.html

我通过具有这样的层次结构对我的旋转移动世界进行了编码:

场景
- 主层(CCLayer)
- 旋转层(CCNode)
- 位置层(CCNode)

rotationLayer 和 positionLayer 具有相同的大小(现在为 4000x4000 像素)。

我通过旋转rotationLayer来旋转整个世界，我通过移动positionLayer来移动整个世界，让玩家始终保持在设备屏幕的中心，并且是移动和旋转的世界。

现在我想这样做，如果玩家到达世界的边界(世界被移动以便世界边界与设备屏幕边界接触)，那么世界被“包裹”到相反的边界所以世界是无限的。如果世界没有旋转，那将很容易，但现在我不知道如何做到这一点。我是一个数学和数学思维的傻瓜，所以我需要一些帮助。

现在我认为我不需要任何与 cocos2d-iphone 相关的帮助。我需要的是某种方法来计算我的玩家是否在世界范围之外，然后某种方法来计算我必须为世界提供什么新位置来包裹世界。

我想我必须计算一个圆的半径，这将是我在方形世界中的类型转换厂，无论方形世界处于什么角度，都将确保可见矩形(屏幕)始终在世界广场。然后我需要一种方法来计算可见矩形边界是否在边界圆之外，如果是这样，我需要一种方法来计算边界圆中新的相对位置以将世界移动到。所以为了说明，我添加了 5 张图片。

在旋转的方形世界内的边界圆内的可见矩形:


可见矩形顶部在旋转的方形世界中击中边界圆:


旋转的方形世界移动到相反的垂直位置，因此可见矩形的底部现在在旋转的世界内达到边界圆:


另一个可见矩形顶部的示例在旋转的方形世界中击中边界圆，以说明不同的场景:


再次旋转的方形世界移动到相反的垂直位置，以便可见矩形的底部现在在旋转的世界内达到边界圆:


在非旋转的情况下移动 positionLayer 是我计算出来的数学，正如我所说，只要世界不旋转，我就可以计算出这个，但它确实如此。被移动/定位的世界/CCNode (positionLayer) 在被旋转的世界/CCNode (rotationLayer) 内。旋转的rotationLayer 的 anchor 始终位于屏幕的中心，但由于移动的positionLayer 在旋转的rotationLayer 内，它会围绕rotationLayer 的 anchor 旋转。然后我迷路了......当我例如将 positionLayer 向下移动到足以使其顶部边框到达屏幕顶部 我需要按照 JohnPS 的描述包裹该 positionLayer，但不是那么简单，我需要它包裹在一个基于rotationLayer CCNode 旋转的向量中。这个我不知道怎么办。

谢谢
索伦

Answer 1

就像约翰说的，最简单的事情就是建立一个圆环世界。想象一下，你的船是 donut 表面上的一个点，它只能在表面上移动。假设您位于两个圆圈(图中的红色和紫色)​​相交的点:

.

如果你关注这些圈子，你最终会回到你开始的地方。另外，请注意，无论您在表面上如何移动，都无法到达“边缘”。圆环的表面没有这样的东西，这就是为什么它可以用作无限的 2D 世界。它有用的另一个原因是方程非常简单。您可以通过两个角度指定您在环面上的位置:从紫色圆圈上的“原点”行进以找到红色圆圈的角度，以及您在红色圆圈上行进以找到您感兴趣的点的角度。这两个角度环绕 360 度。我们称这两个角度为 theta和 phi .它们是你的船在世界上的坐标，当你改变速度时你会改变什么等等。你基本上把它们用作你的x和 y ，除非您必须确保在更改它们时始终使用模数(您的世界在每个方向上只会是 360 度，然后会环绕)。

现在假设你的船在坐标 (theta_ship,phi_ship)并且有方向gamma_ship .您想绘制一个方形窗口，船在其中心，长度/宽度等于整个世界的某个百分比 n(假设您一次只想看到世界的四分之一，那么您可以设置 n = sqrt(1/4) = 1/2并将窗口的长度和宽度设置为 n*2*pi = pi )。为此，您需要一个函数，该函数采用屏幕坐标( x 和 y )中表示的点并在世界坐标( theta 和 phi )中输出一个点。例如，如果你问它世界的哪个部分对应 (0,0)它应该返回船的坐标(theta_ship,phi_ship) .如果船的方向为零(x 和 y 将与 theta 和 phi 对齐)然后一些坐标 (x_0,y_0)将对应于 (theta_ship+k*x_0, phi_ship+k*y_0) , 其中 k是一些比例因子，与人们在屏幕上可以看到多少世界以及x 上的边界有关。和 y . gamma_ship 的旋转介绍了一点trig，在下面的函数中详述。有关数量的确切定义，请参见图片。
! Blue is the screen coordinate system, red is the world coordinate system and the configuration variables (the things that describe where in the world the ship is). The object represented in world coordinates is green.

坐标变换函数可能如下所示:

# takes a screen coordinate and returns a world coordinate
function screen2world(x,y)
    # this is the angle between the (x,y) vector and the center of the screen           
    alpha = atan2(x,y); 
    radius = sqrt(x^2 + y^2); # and the distance to the center of the screen

    # this takes into account the rotation of the ship with respect to the torus coords
    beta = alpha - pi/2 + gamma_ship;

    # find the coordinates
    theta = theta_ship + n*radius*cos(beta)/(2*pi);
    phi = phi_ship + n*radius*sin(beta)/(2*pi));

    # return the answer, making sure it is between 0 and 2pi
    return (theta%(2*pi),phi%(2*pi))

我想，差不多就是这样。数学只是一些相对简单的三角，你应该画一点图来说服自己它是正确的。或者，您可以使用 rotations matrices 以更加自动化的方式获得相同的答案。以及它们的大哥，刚体变换(特殊的欧几里得群 SE(2))。对于后者，我建议阅读Murray, Li, Sastry的前几章。 ，这是免费的在线。

如果你想做相反的事情(从世界坐标到屏幕坐标)，你必须或多或少做同样的事情，但反过来:

beta = atan2(phi-phi_ship, theta-theta_ship);
radius = 2*pi*(theta-theta_ship)/(n*cos(beta));
alpha = beta + pi/2 - gamma_ship;
x = radius*cos(alpha);
y = radius*sin(alpha);