math - 将四元数从右手坐标翻转到左手坐标

Question

我需要从右边翻转一个四元数:x = left to right
y = front to back
z = top to bottom
到左手坐标，其中:x = left to right
y = top to bottom
z = front to back
我该怎么做呢？

Answer 1

我认为这些答案中的任何一个都不正确。

安德烈斯认为四元数没有手性 (*) 是正确的。惯用手(或我称之为“轴惯例”)是人类应用的属性；这就是我们如何将“向前、向右、向上”的概念映射到 X、Y、Z 轴。

这些事情是真实的:

纯旋转矩阵(正交、行列式 1 等)可以转换为单位四元数并返回，从而恢复原始矩阵。

的矩阵不是 纯旋转(行列式为 -1 的旋转，例如翻转单个轴的矩阵)也称为“不正确的旋转”，并且不能转换为单位四元数并返回。您的 mat_to_quat()例程可能不会爆炸，但它不会给你正确的答案(从 quat_to_mat(mat_to_quat(M)) == M 的意义上说)。

交换手性的基数变化具有行列式 -1。这是一个不正确的旋转:相当于一个由围绕原点的镜像组成的旋转(可能是身份)。

要改变四元数的基，比如从 ROS(右手)到 Unity(左手)，我们可以使用 的方法。

mat3x3 ros_to_unity = /* construct this by hand */;
mat3x3 unity_to_ros = ros_to_unity.inverse();
quat q_ros = ...;
mat3x3 m_unity = ros_to_unity * mat3x3(q_ros) * unity_to_ros ;
quat q_unity = mat_to_quat(m_unity);

第 1-4 行只是 https://stackoverflow.com/a/39519079/194921 的方法:“你如何在矩阵上执行基变换？”

第 5 行很有趣。我们知道 mat_to_quat()仅适用于纯旋转矩阵。我们怎么知道m_unity是纯旋转？当然可以想象它不是，因为unity_to_ros和 ros_to_unity两者都具有行列式 -1(作为惯用手切换的结果)。

Hand-wavy 的答案是，左撇子切换了两次，所以结果没有左撇子切换。更深层次的答案与相似变换保留了运算符的某些方面这一事实有关，但我没有足够的数学来证明。

请注意，这将为您提供正确的结果，但如果 unity_to_ros，您可能可以更快地完成此操作。是一个简单的矩阵(比如，只有一个轴交换)。但是您可能应该通过扩展此处完成的数学来推导出更快的方法。

(*) 实际上，Hamilton 和 JPL 四元数是有区别的；但每个人都使用汉密尔顿，所以没有必要用它来搅浑水。