math - 结合不同轴心点的四元数

Question

背景:

我目前正在 GLSL 中实现骨架动画着色器，为了节省空间和复杂性，我使用四元数进行骨骼旋转，使用加权四元数乘法(每个骨骼)来累积每个顶点的“最终旋转”。

类似于:(伪代码，假设四元数数学按预期工作)

  float weights[5];
  int bones[5];
  vec4 position;

  uniform quaternion allBoneRotations[100];
  uniform vec3 allBonePositions[100];

  main(){
  quaternion finalQuaternion;
  for(i=0;i<5;i++){finalQuaternion *= allBoneRotations[bones[i]]*weights[i];}
  gl_position = position.rotateByQuaternion(finalQuaternion);
  }

真正的代码是复杂的，草率的，并且按预期工作，但这应该给出一般的想法，因为无论如何这主要是一个数学问题，代码没有太大的意义，它只是为了清晰起见。

问题:

当我意识到“最终四元数”不会采用不同的枢轴点时，我正在向每个骨骼添加“枢轴点”/“关节位置”(负平移，通过“最终四元数”旋转，向后平移)在组合四元数本身时考虑在内。在这种情况下，每个骨骼旋转都将被视为围绕点 (0,0,0) 进行处理。

鉴于四元数仅代表一个旋转，看来我要么需要为四元数“添加”一个位置(如果可能)，要么简单地将所有四元数转换为矩阵，然后进行矩阵乘法以组合一系列平移和轮换。我真的希望后者不是必需的，因为相对而言，它似乎效率很低。

到目前为止，我已经搜索了 mathoverflow、math.stackexchange 以及 Google 提供的任何其他资源，并阅读了以下资源，希望自己能找到答案:

http://shankel.best.vwh.net/QuatRot.html

http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html

加上通过谷歌搜索发现的各种其他小讨论(我只能发布 2 个链接)

共识是四元数不会在任何意义上对“翻译”或“位置”进行编码，并且似乎没有提供一种直观的方式来模拟它，因此纯四元数数学似乎不太可能是一个可行的解决方案。

然而，在这里有一个明确的答案可能会很好。有谁知道有什么方法可以“伪造”四元数的位置分量，以某种方式保持四元数数学效率，或者其他一些方法来“累积”围绕不同原点的旋转，这比仅计算矩阵更有效四元数，并为每个四元数做矩阵平移和旋转乘法？或者也许有一些数学保证，即不同的枢轴点实际上没有任何区别，实际上可以在以后应用(但我对此表示怀疑)。

或者在这种情况下使用四元数只是一个坏主意？

Answer 1

事实上，没有四元数的位置分量这样的东西，所以你需要单独跟踪它。假设个人转换最终像

x' = R(q)*(x-pivot)+pivot = R(q)*x + (pivot-R(q)*pivot) = R(q)*x+p,

哪里q是你的四元数，R(q)是由它构建的旋转矩阵，p=pivot-R(q)*pivot是位置/平移组件。如果你想组合两个这样的转换，你可以不用全矩阵乘法:

x'' = R(q2)*x'+p2 = R(q2)*R(q)*x + (R(q2)*p+p2) = R(q2*q)*x + (R(q2)*p+p2).

这样组合的四元数将是 q2*q ，以及组合位置，R(q2)*p+p2 .请注意，如果您想绝对避免它们，您甚至可以将四元数应用于向量(R(q2)*p 等)而无需明确构建旋转矩阵。

也就是说，还有一个“双四元数”的概念，它实际上确实包含一个平移分量，并且可能更适合表示螺杆运动。查看它们 on Wiki , 和 here (最后一个链接也指向一篇论文)。