许多 catamorphisms 似乎很简单,主要是用自定义函数替换每个数据构造函数,例如
data Bool = False | True
foldBool :: r -- False constructor
-> r -- True constructor
-> Bool -> r
data Maybe a = Nothing | Just a
foldMaybe :: b -- Nothing constructor
-> (a -> b) -- Just constructor
-> Maybe a -> b
data List a = Empty | Cons a (List a)
foldList :: b -- Empty constructor
-> (a -> b -> b) -- Cons constructor
-> List a -> b
但是,我不清楚的是,如果使用相同类型的构造函数但使用不同的类型参数会发生什么。例如。而不是传递
List a
至Cons
, 关于什么data List a = Empty | Cons a (List (a,a))
或者,也许是一个更疯狂的案例:
data List a = Empty | Cons a (List (List a))
foldList :: b -- Empty constructor
-> ??? -- Cons constructor
-> List a -> b
我对
???
有两个似是而非的想法部分是(a -> b -> b)
,即替换 List
的所有应用程序递归构造函数)(a -> List b -> b)
,即仅替换所有 List a
应用程序。 两者中哪一个是正确的——为什么?还是会完全不同?
最佳答案
这只是部分答案。
OP提出的问题是:如何定义fold
/cata
在非常规递归类型的情况下?
因为我不相信自己能做到这一点,所以我会求助于 Coq。让我们从一个简单的常规递归列表类型开始。
Inductive List (A : Type) : Type :=
| Empty: List A
| Cons : A -> List A -> List A
.
这里没什么特别的,
List A
定义为 List A
.(记住这一点 - 我们会回到它。)
cata
呢? ?让我们查询归纳原理。> Check List_rect.
forall (A : Type) (P : List A -> Type),
P (Empty A) ->
(forall (a : A) (l : List A), P l -> P (Cons A a l)) ->
forall l : List A, P l
让我们来看看。以上利用依赖类型:
P
取决于列表的实际值。让我们在 P list
的情况下手动简化它是常量类型B
.我们获得:forall (A : Type) (B : Type),
B ->
(forall (a : A) (l : List A), B -> B) ->
forall l : List A, B
可以等效地写为
forall (A : Type) (B : Type),
B ->
(A -> List A -> B -> B) ->
List A -> B
这是
foldr
除了“当前列表”也被传递给二进制函数参数 - 不是主要区别。现在,在 Coq 中,我们可以用另一种稍微不同的方式定义一个列表:
Inductive List2 : Type -> Type :=
| Empty2: forall A, List2 A
| Cons2 : forall A, A -> List2 A -> List2 A
.
它看起来是同一类型,但有很大的不同。这里我们没有定义类型
List A
根据 List A
.相反,我们定义了一个类型函数 List2 : Type -> Type
根据 List2
.这样做的要点是对 List2
的递归引用。不必申请A
——事实上,我们这样做只是一个事件。无论如何,让我们看看归纳原理的类型:
> Check List2_rect.
forall P : forall T : Type, List2 T -> Type,
(forall A : Type, P A (Empty2 A)) ->
(forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A), P A l -> P A (Cons2 A a l)) ->
forall (T : Type) (l : List2 T), P T l
让我们删除
List2 T
来自 P
的参数正如我们之前所做的,基本上假设 P
是不变的。forall P : forall T : Type, Type,
(forall A : Type, P A ) ->
(forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A), P A -> P A) ->
forall (T : Type) (l : List2 T), P T
等效改写:
forall P : (Type -> Type),
(forall A : Type, P A) ->
(forall (A : Type), A -> List2 A -> P A -> P A) ->
forall (T : Type), List2 T -> P T
大致对应,用 Haskell 表示法
(forall a, p a) -> -- Empty
(forall a, a -> List2 a -> p a -> p a) -> -- Cons
List2 t -> p t
还不错——基本情况现在必须是一个多态函数,就像
Empty
在 haskell 是。这有点道理。类似地,归纳案例必须是多态函数,就像 Cons
是。还有一个 List2 a
争论,但如果我们愿意,我们可以忽略它。现在,以上仍然是常规类型上的一种折叠/cata。非正规的呢?我会学习
data List a = Empty | Cons a (List (a,a))
在 Coq 中变成:
Inductive List3 : Type -> Type :=
| Empty3: forall A, List3 A
| Cons3 : forall A, A -> List3 (A * A) -> List3 A
.
用归纳原理:
> Check List3_rect.
forall P : forall T : Type, List3 T -> Type,
(forall A : Type, P A (Empty3 A)) ->
(forall (A : Type) (a : A) (l : List3 (A * A)), P (A * A) l -> P A (Cons3 A a l)) ->
forall (T : Type) (l : List3 T), P T l
删除“依赖”部分:
forall P : (Type -> Type),
(forall A : Type, P A) ->
(forall (A : Type), A -> List3 (A * A) -> P (A * A) -> P A ) ->
forall (T : Type), List3 T -> P T
在 Haskell 表示法中:
(forall a. p a) -> -- empty
(forall a, a -> List3 (a, a) -> p (a, a) -> p a ) -> -- cons
List3 t -> p t
除了额外的
List3 (a, a)
论证,这是一种折叠。最后,OP类型呢?
data List a = Empty | Cons a (List (List a))
唉,Coq 不接受这个类型
Inductive List4 : Type -> Type :=
| Empty4: forall A, List4 A
| Cons4 : forall A, A -> List4 (List4 A) -> List4 A
.
由于内部
List4
发生并不处于严格的积极地位。这可能是一个暗示,我应该停止懒惰并使用 Coq 来完成这项工作,并开始自己思考所涉及的 F 代数...... ;-)
关于haskell - 非常规递归类型的变态(折叠)类型是什么?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/30810090/