haskell - 不是仿函数/仿函数/应用/单子(monad)的好例子？

Question

在向某人解释什么是类型类 X 时，我很难找到恰好是 X 的数据结构的好示例。

因此，我请求提供以下示例:

• 不是仿函数的类型构造函数。
• 类型构造函数，它是 Functor，但不是 Applicative。
• 类型构造函数，它是 Applicative，但不是 Monad。
• 作为 Monad 的类型构造函数。

我认为到处都有很多 Monad 的例子，但是一个与前面的例子有一定关系的 Monad 的好例子可以让整个画面更加完整。

我寻找彼此相似的示例，仅在属于特定类型类的重要方面有所不同。

如果有人能够设法在这个层次结构中的某个位置(是在 Applicative 和 Monad 之间吗？)偷偷地找到一个 Arrow 的示例，那也太好了!

Answer 1

不是仿函数的类型构造函数:

newtype T a = T (a -> Int)

您可以用它创建逆变仿函数，但不能创建(协变)仿函数。尝试编写fmap，你会失败。请注意，逆变仿函数版本是相反的:

fmap      :: Functor f       => (a -> b) -> f a -> f b
contramap :: Contravariant f => (a -> b) -> f b -> f a

类型构造函数，它是仿函数，但不是 Applicative:

我没有一个好的例子。有 Const，但理想情况下我想要一个具体的非 Monoid，但我想不出任何。当你认真思考时，所有类型基本上都是数字、枚举、乘积、求和或函数。您可以在下面看到 Pigworker 和我对于 Data.Void 是否是 Monoid 存在分歧；

instance Monoid Data.Void where
    mempty = undefined
    mappend _ _ = undefined
    mconcat _ = undefined

由于 _|_ 是 Haskell 中的合法值，并且实际上是 Data.Void 的唯一合法值，因此这符合 Monoid 规则。我不确定 unsafeCoerce 与它有什么关系，因为一旦您使用任何 unsafe 函数，就不再保证您的程序不会违反 Haskell 语义。

请参阅 Haskell Wiki，获取有关底部 ( link ) 或不安全函数 ( link ) 的文章。

我想知道是否可以使用更丰富的类型系统(例如带有各种扩展的 Agda 或 Haskell)来创建这样的类型构造函数。

类型构造函数是 Applicative，但不是 Monad:

newtype T a = T {multidimensional array of a}

您可以用它制作一个应用程序，例如:

mkarray [(+10), (+100), id] <*> mkarray [1, 2]
  == mkarray [[11, 101, 1], [12, 102, 2]]

但是如果你把它变成一个单子(monad)，你可能会遇到维度不匹配的情况。我怀疑这样的例子在实践中很少见。

作为 Monad 的类型构造函数:

[]

关于箭头:

询问箭头在此层次结构中的位置就像询问“红色”是什么形状。注意类型不匹配:

Functor :: * -> *
Applicative :: * -> *
Monad :: * -> *

但是，

Arrow :: * -> * -> *