android - 四元数旋转不能正常工作

Question

在 OpenGL ES 1 for android 中，我有一个由 27 个较小的立方体组成的 Rubic 立方体。我想要旋转导致特定的小立方体恰好位于视点前方。所以我需要两个向量。一个是从对象原点到特定立方体的向量。另一个是从原点到视点的向量。然后它们的叉积给了我旋转的轴，点积给了我角度。

我将 (0,0,1) - 这是从原点到世界坐标中的视点的向量 - 转换为对象坐标。这是代码:

    matrixGrabber.getCurrentModelView(gl);
    temporaryMatrix.set(matrixGrabber.mModelView);

    inputVector[0] = 0f; 
    inputVector[1] = 0f;
    inputVector[2] = 1f;
    inputVector[3] = 1f;
    Matrix.multiplyMV(resultVector, 0, temporaryMatrix.InvertMatrix(), 0, inputVector,0);
    resultVector[0]/=resultVector[3];
    resultVector[1]/=resultVector[3];
    resultVector[2]/=resultVector[3];

    inputVector = ..... // appropriate vector due to user-selection 

    axis = Vector.normalized(Vector.crossProduct(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector)));
    degree = (float)Math.toDegrees(Math.acos(Vector.dot(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector))));

我使用两个四元数进行旋转。每次用户选择一个 Action 时，应该发生一个轮换。这是代码:

    Quaternion currentRotation = new Quaternion();
    Quaternion temporaryRotation = new Quaternion();
    .
    .
    .
     currentRotation = (currentRotation).mulLeft(temporaryRotation.set(axis, degree));
     currentRotation.toMatrix(matrix);
     gl.glMatrixMode(GL10.GL_MODELVIEW);
     gl.glMultMatrixf(matrix, 0);

现在的问题是它在第一次旋转时效果很好。无论第一次轮换是什么。它运行良好，但对于下一次旋转，它似乎得到了错误的轴和度数。

例如，如果坐标系是

X 右 (1,0,0)

Y 向上 (0,1,0)

Z-in (0,0,1)

然后第一次逆时针 (CCW) 旋转 X 90 度产生

X'-右 (1,0,0)

Y'-in (0,0,1)

Z'-向下 (0,-1,0)

绕 Z 轴逆时针 90 度的第二次旋转产生

X'-in (0,1,0)

Y'-左 (-1,0,0)

Z'-向下 (0,-1,0)

但我期待

X 向上 (0,1,0)

Y 输入 (0,0,1)

Z-右(1,0,0)

我认为问题在于 resultVector(我使用的第二个向量从原点到视点)没有正确转换。有谁知道如何将世界坐标转换为对象坐标？有谁知道当物体旋转时我们如何确定物体坐标？

Answer 1

好吧，昨天我决定编写 Rubic Cube 拼图，因为我过去尝试过的任何拼图对我来说都非常不舒服，最后我有一些心情/时间自己编写代码。当我完成它时，这里是我的见解:

魔方表示

我不认为四元数是一个好的选择。相反，我更喜欢:

4x4 uniform transform matrices

所以我最终得到了 3*3*3=27 的列表变换矩阵加上一个用于整个立方体旋转的附加矩阵。在起始状态下，所有子立方体都有单位旋转部分，原点设置为覆盖{ -1 , 0 ,+1 }的所有组合。填充整个魔方(每个子立方体网格的大小为 1.0 并以 (0,0,0) 为中心)



我的多维数据集在 C++ 代码中定义如下:

reper cube[27]; // reper is transform matrix

界面

我希望控制和查看尽可能接近真实的东西。因此，旋转由鼠标通过单击目标子立方体(在 area0 或 area1 中)来控制，然后从鼠标拖动的方向决定哪个轴旋转以及向哪个方向旋转。

从起始位置没有问题(因为即使您的代码也适用于此)。问题从下一次旋转开始(尤其是在改变旋转轴时)，因为局部坐标系已经改变。全局 View 旋转也是如此，因为它会弄乱所有这些。

如何补救不断变化的局部坐标系？

我想出了一个模糊的解决方案，我首先从每个坐标系匹配轴。要检测哪个轴是哪个轴，我只需对查询方向与变换矩阵的所有轴进行点积，然后选择 abs 点积最高的那个轴。该符号仅说明坐标系是否相反(意味着应该反转旋转)。

在 C++ 和 OpenGL 样式矩阵看起来像这样:

void RubiCube::axises_unit(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
    {
    int i;
    double p[3],xyz[3][3],a,b;
    rep.axisx_get(xyz[0]);
    rep.axisy_get(xyz[1]);
    rep.axisz_get(xyz[2]);
    vector_ld(p,1.0,0.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
    vector_ld(p,0.0,1.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
    vector_ld(p,0.0,0.0,1.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
    }

哪里reper是包含直接和逆变换矩阵的类。 get_axis只需查看直接矩阵内部并返回选定的轴方向单位向量。 vector_mul是点积和 vector_ld只需用 x,y,z 填充 3D 矢量坐标。

因为我也得到了全局立方体矩阵，它不是与单位矩阵对齐的(因为它被旋转，所以 View 看起来像上图)然后我需要对特殊向量(初始 View 矩阵值)进行这个轴匹配在我的情况下就是这个:

void RubiCube::axises_obj(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
    {
    int i;
    double p[3],xyz[3][3],a,b;
    rep.axisx_get(xyz[0]);
    rep.axisy_get(xyz[1]);
    rep.axisz_get(xyz[2]);
    vector_ld(p,+0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
    vector_ld(p,-0.000,-0.906,+0.423); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
    vector_ld(p,-0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
    }

这两个函数都返回哪个轴是哪个 x,y,z如果方向与单位变换矩阵相反(sx，sy，sz)。

切片旋转

这是拼图的核心。它简单地绕轴旋转切片。这用于动画，因此角度步长很小(我使用 9 度)，但整个转弯必须总共 90 度，否则魔方会破裂。

void RubiCube::cube_rotate(int axis,int slice,double ang)
    {
    int j,k,a[3],s[3];
    double p[3],p0[3]={0.0,0.0,0.0},lang;
    reper *r;
    _redraw=true;
    for (k=0;k<27;k++)
        {
        r=&cube[k];
        // local axis,sign
        axises_unit(*r,a[0],a[1],a[2],s[0],s[1],s[2]);
        // lang is local signed angle change
        lang=ang; if (s[axis]<0) lang=-lang;
        // select slice
        r->gpos_get(p);
        j=round(p[axis]+1.0);
        if (j!=slice) continue;
        // rotate global position
        if (axis==0) vector_rotx(p0,p,+ang);
        if (axis==1) vector_roty(p0,p,-ang);
        if (axis==2) vector_rotz(p0,p,+ang);
        r->gpos_set(p);
        // rotate local cube orientation
        if (a[axis]==0) r->lrotx(-lang);
        if (a[axis]==1) r->lroty(-lang);
        if (a[axis]==2) r->lrotz(-lang);
        }
    }

哪里reper::gpos_get返回矩阵原点作为 3D 向量(点)和 reper::gpos_set基本上设置新的矩阵位置。 vector_rotx(p0,p,a)旋转矢量 p附近p0和轴 x按角度 a . +/-标志仅用于匹配来自 reper 的旋转类(我在某处有所不同)。 reper::lrotx旋转 reper围绕其本地x轴有关更多信息，请参阅第一个链接。

如您所见，我直接使用每个矩阵原点坐标作为拓扑来选择切片立方体。

在这里你可以试试我的演示: Win32+OpenGL Rubic Cube Demo

这里是一些转弯的动画 gif:



[Edit1] 我在我的 RubiCube 中添加了简单的求解器

为了实现一个求解器，我添加了表面平面颜色贴图(在左边......中间的方块是我使用的边的名称和索引)从我的 计算出来的魔方内部代表。我还为求解器添加了内部命令 que(右侧的轴和方向):



每个命令由 2 个字符串表示:

edge slice  CW: R L U D F B
edge slice CCW: R'L'U'D'F'B'
mid  slice  CW: R0L0U0D0F0B0
whole cube  CW: RcLcUcDcFcBc

map 如下所示:

int map[6][3][3];

哪里map[side][u][v]包含侧面正方形的颜色 s , 行 u和专栏v .我实现了简单 7 steps solution (就像人类解决真正的立方体一样):

输入状态(不是一步)

白叉黄中(黄中朝前)

白色十字(白色中间朝前)

白色边角(白色面朝下)

中间层(使用前 3 个命令)

顶层黄色十字(使用第四个命令)

重新排序交叉使边匹配(第 5 个命令)并重新排序角(第 6 个命令)

定向顶层角以完成立方体(第 7 个命令)

求解器很简单，对字符串进行操作(未优化)，所以它有点慢，但无论如何，完整的解决方案在我的设置中最多需要 50 毫秒。您可以在这里尝试升级的演示:

Win32+OpenGL Rubic Cube Demo with solver

解决时可能仍然存在一些未定义的情况(由于代码中的错误或遗漏情况)。在这种情况下，应用程序会很粗糙(尚未实现看门狗)。 key 在包含的文本文件中进行了描述。

我做了轻量级的求解器(大约 300 行代码)，所以找到的解决方案远非最佳。例如，代替测试 4 个角，我只测试一个角并循环旋转立方体，导致不必要的转弯。其中一些后来被过滤掉了，但人类(我的)解决方案的平均次数高达 200 圈，而这个求解器却返回了 300 圈(在最坏的情况下，我直到现在才发现)。