haskell - 求多项式的根

Question

给定 n 次多项式，如何可靠地找到 y = 0 时 x 的所有值。

我目前正在使用 Math.Polynomial库，它似乎没有内置这个函数。但是，我可能在这里遗漏了一些东西，看起来这将是一个广泛使用的函数。

谢谢

Answer 1

如果您不介意使用外部 SMT 求解器，则可以使用 SBV 包:

Prelude Data.SBV> allSat $ \x -> 2*x^3-19*x^2+15*x+72 .== (0::SReal)
Solution #1:
  s0 = 3.0 :: Real
Solution #2:
  s0 = 8.0 :: Real
Solution #3:
  s0 = -1.5 :: Real
Found 3 different solutions.

保证根是精确的，即不会发生舍入错误。 Real 类型对应于无限精确的代数实数。如果结果无法以有限形式打印，它将被写为一个简单方程的根，并将扩展到当前的打印精度:

Prelude Data.SBV> allSat $ \x -> x^2-2 .== (0::SReal)
Solution #1:
  s0 = root(1, x^2 = 2) = -1.414213562373095... :: Real
Solution #2:
  s0 = root(2, x^2 = 2) = 1.414213562373095... :: Real
Found 2 different solutions.

位数可以任意长并且可配置:

Prelude Data.SBV> allSatWith z3{printRealPrec=20} $ \x -> x^2-2 .== (0::SReal)
Solution #1:
  s0 = root(1, x^2 = 2) = -1.4142135623730950488... :: Real
Solution #2:
  s0 = root(2, x^2 = 2) = 1.4142135623730950488... :: Real
Found 2 different solutions.

请注意，SMT 求解器只会为您提供实根；不会找到复杂的解决方案:

Prelude Data.SBV> allSat $ \x -> x^2+1 .== (0::SReal)
No solutions found.

如果只有一些根是真实的，那么就会找到这些根:

Prelude Data.SBV> allSat $ \x -> x^3+2*x-1 .== (0::SReal)
Solution #1:
  s0 = root(1, x^3+2x = 1) = 0.4533976515164037... :: Real
This is the only solution.

PS。为了使这一切顺利进行，请不要忘记首先在您的计算机上安装 Z3。您可以从 https://github.com/Z3Prover/z3/releases 获取最新副本