theory - 上下文无关语言问题(泵引理)

Question

我知道这与编程没有直接关系，但我想知道是否有人知道如何将泵引理应用于以下证明:

Show that L={(a^n)(b^n)(c^m) : n!=m} is not a context free language

我对应用泵引理非常有信心，但是这个真的让我很恼火。你觉得怎么样？

Answer 1

编辑:我完全把你引入了错误的轨道。这就是当我自己没有完全解决问题而尝试提供帮助时会发生的情况。

奥格登引理

假设 L 是上下文无关的。根据奥格登引理，存在一个具有以下性质的整数 p:

给定 L 中至少有 p 个符号长的字符串 w，其中至少有 p 个符号被“标记”，w 可以表示为 uvxyz，满足:

1. x 至少有一个标记符号，
2. u 和 v 都有标记符号，或者 y 和 z 都有标记符号，
3. vxy 最多有 p 个标记符号，并且
4. u vⁱ x yⁱ z 在 L 中，i >= 0

这就是奥格登引理。现在，令 q 为可被每个不大于 p 的正整数整除的整数。设 w = a^p+q b^p+q c^p。标记每个 c。根据#2，u 或v 必须至少包含一个c。如果 u 或 v 包含任何其他符号，则 #4 失败，因此 u 和 v 必须仅包含 c。但是当 i = q/|uv| 时#4 失败。我们知道 q 可以被 |uv| 整除因为 p > |uv| > 0，并且 q 可被所有小于 p 的正整数整除。

请注意，当您标记所有符号时，奥格登引理会变成泵引理。

泵浦引理

假设 L 是上下文无关的。根据泵引理，有一个长度 p(不一定与上面的 p 相同)，使得 L 中的任何字符串 w 都可以表示为 uvxyz，其中

1. |vxy| <=p，
2. |vy| >= 1，并且
3. u vⁱ x yⁱ z 位于 L 中，且 i >= 0。

给定 L 中的字符串 w，m > n 或 m < n。假设 p = 2。

假设 m > n。 (请注意，Λ 表示空字符串。)

• 设 u = aⁿ bⁿ c^m-1
• 令 v = c
• 设 x = Λ
• 设 y = Λ
• 令 z = Λ

假设 n > m。

• 令 u = a^n-1
• 令 v = a
• 设 x = Λ
• 设 y = b
• 令 z = b^n-1 c^m

这表明 L 中的任何字符串都没有使用泵引理提供反例来假设 L 是上下文无关语言(即使它是上下文相关的)。