python - 基于网格的多元三次插值

Question

说我有兴趣

y = f(n, m, o)

我为n，m，o创建离散化网格：

import numpy as np
nGrid = np.arange(0,10)
mGrid = np.arange(100,110)
oGrid = np.arange(1000,1010)
N,M,O = np.meshgrid(nGrid, mGrid, oGrid, indexing='ij')

为了简单起见，我们假设f(n,m,o) = n+m+p：

Y = N+M+O

因此，我现在在f内具有Y的网格明智近似值。从我的角度来看documentation


我需要看一下多元插值
scipy.interpolate.Griddata看起来不错，但它确实适用于非结构化网格。这意味着我必须将所有结果转换为长数组-这并没有利用我实际上拥有结构化网格的优势
结构化下列出的其他方法不能同时支持三次和多元（大于2维）输入。


给定我已经创建的变量，在此问题上进行插值的好方法是什么？

更新资料

这是第一个答案的实现：

import numpy as np
nGrid = np.arange(0,10)
mGrid = np.arange(100,110)
oGrid = np.arange(1000,1010)
N,M,O = np.meshgrid(nGrid, mGrid, oGrid, indexing='ij')
Y = N+M+O

n,m,o = 5, 103, 1007

m_i = np.argmin(np.abs(np.floor(m)-mGrid))
m_f = m - m_i

n_i = np.argmin(np.abs(np.floor(n)-nGrid))
n_f = n - n_i

o_i = np.argmin(np.abs(np.floor(o)-oGrid))
o_f = o - o_i

A = Y[m_i-1:m_i+3, n_i-1:n_i+3, o_i-1:o_i+3]

# cubic smoothing polynome in 1D
# Catmull-Rom style
def v(p0, p1, p2, p3, f):
    return 0.5 * (p0 * (-f**3 + 2*f**2 - f) +
                  p1 * (3*f**3 - 5*f**2 + 2) +
                  p2 * (-3*f**3 + 4*f**2 + f) +
                  p3 * (f**3 - f**2))



B = v(A[0], A[1], A[2], A[3], m_f)
C = v(B[0], B[1], B[2], B[3], n_f)
D = v(C[0], C[1], C[2], C[3], o_f)

# D is the final interpolated array

print m+n+o, D

不幸的是，f(n,m,o) = 1115，而D = 2215。由于与该方法没有任何联系，因此我很难理解到底发生了什么以及为什么如此近似的原因。

Answer 1

如果找不到好东西，那就自己滚吧！

但请注意，三次三次插值有些棘手。下面描述简单的三次三次插值。根据您的需要，有更多更复杂，更快速的方法（基于矩阵）可用。还应该意识到以下事实：有几种三次外推方法，我只使用可能是最常见的一种（Catmull-Rom）。

在3D阵列M中查找点（m，n，o）时，其三次三次插值的周围由4x4x4点（或3x3x3单元）网格组成。这些点在每个轴上的定义是：每个轴的floor(a)-1，floor(a)，floor(a)+1，floor(a)+2等。 （想想一个魔方，其中（m，n，o）点位于不可见的中心立方体中。）

然后三次三次插值结果是这64个点的加权平均值。权重取决于点到网格点的距离。

让我们定义：

m_i = np.floor(m).astype('int')    # integer part
m_f = m - m_i                      # fraction

以及对n和o的类似定义。现在我们需要对数组进行操作：

A = M[m_i-1:m_i+3, n_i-1:n_i+3, o_i-1:o_i+3]

现在，我们的点是（1 + m_f，1 + n_f，1 + o_f）。 （请注意，这假设矩阵是无限的。否则，必须考虑边缘效应。）

数组的64个系数可以用一些聪明的矩阵数学来计算，但是在这里足以知道插值是关联的，即我们一次可以做一个轴：

# cubic smoothing polynome in 1D
# Catmull-Rom style
def v(p0, p1, p2, p3, f):
    return 0.5 * (p0 * (-f**3 + 2*f**2 - f) +
                  p1 * (3*f**3 - 5*f**2 + 2) +
                  p2 * (-3*f**3 + 4*f**2 + f) +
                  p3 * (f**3 - f**2))


# interpolate axis-by-axis
B = v(A[0], A[1], A[2], A[3], m_f)
C = v(B[0], B[1], B[2], B[3], n_f)
D = v(C[0], C[1], C[2], C[3], o_f)

# D is the final interpolated value

因此，插补一次只计算一个轴。



让我们将其变为更实际的东西。首先，我们需要从自己的坐标空间到数组坐标进行一些地址计算。如果定义了m轴：

m0: position of the first grid plane on the axis
m1: position of the last grid plane on the axis
n_m: number of samples

我们可以从“真实世界”位置m计算等效数组位置：

m_arr = (n_m - 1) * (m -  m0) / (m1 - m0)

-1来自击剑现象（如果我们有10个样本，则第一个与最后一个样本之间的距离为9）。

现在我们可以将所有内容放到一个函数中：

# cubic smoothing polynome in 1D
# Catmull-Rom style
def interp_catmull_rom(p0, p1, p2, p3, f):
    return 0.5 * (p0 * (-f**3 + 2*f**2 - f) +
                  p1 * (3*f**3 - 5*f**2 + 2) +
                  p2 * (-3*f**3 + 4*f**2 + f) +
                  p3 * (f**3 - f**2))

# linear interpolation
# only needs p1 and p2, the rest are there for compatibility
def interp_linear(p0, p1, p2, p3, f):
    return (1-f)*p1 + f*p2


# don't interpolate, use the nearest point
# only needs p1 and p2, the rest are there for compatibility
def interp_nearest(p0, p1, p2, p3, f):
    if f > .5:
        return p2
    else:
        return p1

# 3D interpolation done axis-by-axis
def tri_interp(M, f, m, n, o, m0, m1, n0, n1, o0, o1):
    # M: 3D array
    # f: interpolation function to use
    # m,n,o: coordinates where to interpolate
    # m0: real world minimum for m
    # m1: real world maximum for m
    # n0,n1,o0,o0: as with m0 and m1

    # calculate the array coordinates
    m_arr = (M.shape[0] - 1) * (m - m0) / (m1 - m0)
    n_arr = (M.shape[1] - 1) * (n - n0) / (n1 - n0)
    o_arr = (M.shape[2] - 1) * (o - o0) / (o1 - o0)

    # if we are out of our data box, return a nan
    if m_arr < 0 or m_arr > M.shape[0] or \
       n_arr < 0 or n_arr > M.shape[1] or \
       o_arr < 0 or o_arr > M.shape[2]:
        return np.nan

    # calculate the integer parts and fractions
    m_i = np.floor(m_arr).astype('int')
    n_i = np.floor(n_arr).astype('int')
    o_i = np.floor(o_arr).astype('int')
    m_f = m_arr - m_i
    n_f = n_arr - n_i
    o_f = o_arr - o_i

    # edge effects may be nasty, we may need elements outside of the array
    # there may be more efficient ways to avoid it, but we'll create lists of
    # coordinates:

    n_coords, m_coords, o_coords = np.mgrid[m_i-1:m_i+3, n_i-1:n_i+3, o_i-1:o_i+3]

    # these coordinate arrays are clipped so that we are in the available data
    # for example, point (-1,3,7) will use the point (0,3,7) instead
    m_coords = m_coords.clip(0, M.shape[0]-1)
    n_coords = n_coords.clip(0, M.shape[1]-1)
    o_coords = o_coords.clip(0, M.shape[2]-1)

    # get the 4x4x4 cube:
    A = M[m_coords, n_coords, o_coords]

    # interpolate along the first axis (3D to 2D)
    B = f(A[0], A[1], A[2], A[3], m_f)

    # interpolate along the second axis (2D to 1D)
    C = f(B[0], B[1], B[2], B[3], n_f)

    # interpolate along the third axis (1D to scalar)
    D = f(C[0], C[1], C[2], C[3], o_f)

    return D

现在，该功能使得可以使用任何插值方法，该方法可以对四个相邻点逐个轴进行。现在显示立方，线性和“最近”。



但这有效吗？让我们通过生成一些随机数据和与数据相交的平面来对其进行测试。 （后者异常困难。）

# random data
M = np.random.random((10, 12, 16))
m0,m1 = -10.,10.
n0,n1 = -7.,5.
o0,o1 = -4.,5.

# create a grid (grid from -15..15,-15..15 in n-m plane)
gr = mgrid[-15:15.01:.1, -15:15.01:.1]

# create two perpendicular unit vectors (forming a plane)
# vn: normal vector of the plane
# vp: some vector, whose projection determines one direction
# v0: unit vector on the plane (perpendicular to vn and vp)
# v1: unit vector on the plane (perpendicular to vn and v0)
vn = np.array([-.2, .3, 1])
vp = np.array([0, -1, 0])
v1 = np.cross(vn, vp)
v2 = np.cross(vn, v1)
v1 /= numpy.linalg.norm(v1)
v2 /= numpy.linalg.norm(v2)

# the grid and the unit vectors define the 3d points on the plane
gr3d = gr[0][:,:,None] * v1 + gr[1][:,:,None] * v2

# now we can fetch the points at grid points, just must flatten and reshape back
res = [ tri_interp(M, interp_catmull_rom, p[0], p[1], p[2], m0,m1,n0,n1,o0,o1) for p in gr3d.reshape(-1,3) ]
res = np.array(res).reshape((gr3d.shape[0], gr3d.shape[1]))

因此，我们有一架穿过数据块的飞机。现在，通过选择interp_linear，interp_nearest或interp_catmull_rom作为一维插值函数，我们实际上可以看到三种不同插值方法之间的差异。下面的所有图片在尺寸和颜色上都具有相同的比例。

1.最近：获取网格中最近的已知点（quick'n'dirty）



2.线性：取一个2x2x2立方体，并使用线性插值法计算结果；结果始终在现有数据点之间，不需要边缘欺骗。但是，第一微分不平滑，这在图像中可以看到，有时在信号处理中是个问题。



3.立方：取一个4x4x4的立方，然后使用立方插值来计算结果。结果具有连续的一阶微分，即结果在所有方向上都是“平滑的”。由于样品量大，可能会有边缘效应。 （插值算法会重复最边缘的体素，但它们可能会被镜像，取为某个常数等）。





如果我们在块中采用线段，则可以更好地看出这些插值方法的本质差异：

 # line segment from (-12,-12,-12) to (12,12,12)
 v = np.array([np.linspace(-12,12,1000)]*3).T

 res = [ tri_interp(M, interp_catmull_rom, p[0], p[1], p[2], m0,m1,n0,n1,o0,o1) for p in v ]

对于不同的插值函数，线段上具有以下值：



线性插值中“最近”和扭结的块状清晰可见。 “线性”插值未给出线性结果可能看起来令人惊讶。通过考虑一个带有角值为1,0,1,0的正方形的2D插值（即，对角相对的角具有相同的值）可以最好地理解。没有办法进行插值，以便所有部分都是线性的。



此处显示的算法是一种非常琐碎的算法，可以通过多种技巧使其变得更快。特别是如果在一个单元中需要多个点，则基于矩阵的方法要快得多。不幸的是，还没有非常快的方法，并且基于矩阵的方法解释起来更加复杂。