python - 如何使用 fft 在频域中向正弦波添加相移？

Question

我想在频域中移动正弦波

我的想法如下:

1. 傅里叶变换
2. 在频域中添加 pi 的相移
3. 傅里叶逆变换

在代码中:

t=np.arange(0, 6 , 0.001)
values = A*np.sin(t)
ft_values= np.fft.fft(values)
ft_values_phase=ft_values+1j*np.pi
back_again= np.fft.ifft(ft_values_phase)
plt.subplot(211)
plt.plot(t,values)
plt.subplot(212)
plt.plot(t,back_again)

我期望得到两张图像，其中一个波移动了 pi，但是我得到了这个结果

(无相移):

感谢您的帮助!

Answer 1

您没有进行相移。

您所做的是将一个 6000 向量(例如 P)与常数值 P(i) = j π 添加到 V ，v 的 FFT。

让我们写成Ṽ = V + P。

由于 FFT(和 IFFT)的线性，您所说的 back_again 是

        ṽ = IFFT(Ṽ) = IFFT(V) + IFFT(P) = v + p

当然，p = IFFT(P) 是差值 values-back_again — 现在，让我们检查一下 p 是什么。 ..

In [51]: P = np.pi*1j*np.ones(6000) 
    ...: p = np.fft.ifft(P) 
    ...: plt.plot(p.real*10**16, label='real(p)*10**16') 
    ...: plt.plot(p.imag, label='imag(p)') 
    ...: plt.legend();

正如您所看到的，您通过添加 ṽ 的实数分量来修改值，该实数分量本质上是 IFFT 计算中的数值噪声(因此绘图中没有变化) ，这为您提供了 back_again 的实数部分)和一个虚数尖峰，其高度毫不奇怪地等于 π，对于 t= 0。

常数的变换是ω=0处的尖峰，常数(频域中)的反变换是t=0处的尖峰。 p>

另一方面，如果将每个 FFT 项乘一个常数，您也会将时域信号乘以相同的常数(请记住，FFT 和 IFFT 是线性)。

要做你想做的事，你必须记住，时域中的移位只是(周期性)信号与时移尖峰的(循环)卷积，因此你必须乘以信号的 FFT通过移位尖峰的 FFT。

由于狄拉克分布的傅里叶变换 δ(t-a) 是 exp(-iωa)，因此您必须将信号 FFT 的每一项乘以频率依赖项，exp(-iωa)=cos(ωa)-i·sin(ωa)(注意:当然，这些乘法项中的每一项都有单位幅度)。

<小时/>

示例

一些预备知识

In [61]: import matplotlib.pyplot as plt 
    ...: import numpy as np                                                                                           
In [62]: def multiple_formatter(x, pos, den=60, number=np.pi, latex=r'\pi'): 
             ... # search on SO for an implementation
In [63]: def plot(t, x): 
    ...:     fig, ax = plt.subplots() 
    ...:     ax.plot(t, x) 
    ...:     ax.xaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(multiple_formatter)) 
    ...:     ax.xaxis.set_major_locator(plt.MultipleLocator(np.pi / 2)) 
    ...:     ax.xaxis.set_minor_locator(plt.MultipleLocator(np.pi / 4)) 

计算以 n 为中心、持续一段 N 的狄拉克分布的离散 FT 的函数

In [64]: def shift(n, N): 
    ...:     s = np.zeros(N) 
    ...:     s[n] = 1.0 
    ...:     return np.fft.fft(s)                                                                                     

让我们绘制一个信号和移位后的信号

In [65]: t = np.arange(4096)*np.pi/1024                                                                               
In [66]: v0 = np.sin(t)                                                                                               
In [67]: v1 = np.sin(t-np.pi/4)                                                                                       
In [68]: f, a = plot(t, v0)                                                                                           
In [69]: a.plot(t, v1, label='shifted by $\\pi/4$');                                                                   
In [70]: a.legend();

现在计算正确尖峰的 FFT(注意 π/4 = (4π)/16)、移位信号的 FFT、s.s. 的 FFT 的 IFFT。最后绘制我们的结果

In [71]: S = shift(4096//16-1, 4096)                                                                                  
In [72]: VS = np.fft.fft(v0)*S                                                                                        
In [73]: vs = np.fft.ifft(VS)                                                                                         
In [74]: f, ay = plot(t, v0)                                                                                          
In [75]: ay.plot(t, vs.real, label='shifted in frequency domain');                                                    
In [76]: ay.legend();