最佳答案
以下用于 msd 的直接方法有效,但它是 O(N**2)(我改编自此 stackoverflow answer by user morningsun 的代码)
def msd_straight_forward(r):
shifts = np.arange(len(r))
msds = np.zeros(shifts.size)
for i, shift in enumerate(shifts):
diffs = r[:-shift if shift else None] - r[shift:]
sqdist = np.square(diffs).sum(axis=1)
msds[i] = sqdist.mean()
return msds
但是,我们可以使用 FFT 使这段代码更快。以下考虑和由此产生的算法来自this paper ,我将只展示如何在 python 中实现它。 我们可以通过以下方式拆分MSD
因此,S_2(m) 就是位置的自相关。请注意,在某些教科书中,S_2(m) 表示为自相关(约定 A),而在某些教科书中,S_2(m)*(N-m) 表示为自相关(约定 B)。 根据 Wiener-Khinchin 定理,函数的功率谱密度 (PSD) 是自相关的傅里叶变换。 这意味着我们可以计算信号的 PSD 并对它进行傅立叶反演,以获得自相关(在约定 B 中)。对于离散信号,我们得到循环自相关。 然而,通过对数据进行零填充,我们可以获得非循环自相关。算法看起来像这样
def autocorrFFT(x):
N=len(x)
F = np.fft.fft(x, n=2*N) #2*N because of zero-padding
PSD = F * F.conjugate()
res = np.fft.ifft(PSD)
res= (res[:N]).real #now we have the autocorrelation in convention B
n=N*np.ones(N)-np.arange(0,N) #divide res(m) by (N-m)
return res/n #this is the autocorrelation in convention A
对于 S_1(m) 项,我们利用了一个事实,即可以找到 (N-m)*S_1(m) 的递归关系(这在第 4.2 节的 paper 中有解释)。 我们定义
通过
找到S_1(m)这会产生以下用于均方位移的代码
def msd_fft(r):
N=len(r)
D=np.square(r).sum(axis=1)
D=np.append(D,0)
S2=sum([autocorrFFT(r[:, i]) for i in range(r.shape[1])])
Q=2*D.sum()
S1=np.zeros(N)
for m in range(N):
Q=Q-D[m-1]-D[N-m]
S1[m]=Q/(N-m)
return S1-2*S2
您可以比较 msd_straight_forward() 和 msd_fft() 并会发现它们产生相同的结果,尽管 msd_fft() 对于大 N 更快
一个小的基准:生成一个轨迹
r = np.cumsum(np.random.choice([-1., 0., 1.], size=(N, 3)), axis=0)
对于 N=100.000,我们得到
$ %timeit msd_straight_forward(r)
1 loops, best of 3: 2min 1s per loop
$ %timeit msd_fft(r)
10 loops, best of 3: 253 ms per loop
关于python - 使用 python 和 FFT 计算均方位移,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/34222272/