floating-point - 为什么 float 不正确？

Question

为什么有些数字存储为浮点数时会失去准确性？

例如，十进制数9.2可以精确地表示为两个十进制整数（92/10）的比率，两个整数都可以精确地以二进制（0b1011100/0b1010）表示。但是，存储为浮点数的相同比率永远不会完全等于9.2：

32-bit "single precision" float: 9.19999980926513671875
64-bit "double precision" float: 9.199999999999999289457264239899814128875732421875

这样一个看似简单的数字怎么会“太大”而无法在64位内存中表达呢？

Answer 1

在大多数编程语言中，浮点数非常类似于scientific notation表示：具有指数和尾数（也称为有效位数）。一个非常简单的数字，例如9.2，实际上就是这个分数：


  5179139571476070 * 2 -49


指数为-49，尾数为5179139571476070。用这种方式无法表示一些十进制数字的原因是，指数和尾数都必须是整数。换句话说，所有浮点数必须是整数乘以2的整数次方。

9.2可能只是92/10，但是如果n限制为整数值，则10不能表示为2n。



看到数据

首先，使用一些函数来查看组成32位和64位float的组件。如果只关心输出（例如Python），则可以查看以下内容：

def float_to_bin_parts(number, bits=64):
    if bits == 32:          # single precision
        int_pack      = 'I'
        float_pack    = 'f'
        exponent_bits = 8
        mantissa_bits = 23
        exponent_bias = 127
    elif bits == 64:        # double precision. all python floats are this
        int_pack      = 'Q'
        float_pack    = 'd'
        exponent_bits = 11
        mantissa_bits = 52
        exponent_bias = 1023
    else:
        raise ValueError, 'bits argument must be 32 or 64'
    bin_iter = iter(bin(struct.unpack(int_pack, struct.pack(float_pack, number))[0])[2:].rjust(bits, '0'))
    return [''.join(islice(bin_iter, x)) for x in (1, exponent_bits, mantissa_bits)]

该函数背后有很多复杂性，并且很容易解释，但是如果您感兴趣的话，struct模块对我们而言是重要的资源。

Python的float是64位双精度数字。在其他语言（例如C，C ++，Java和C＃）中，双精度具有单独的类型double，通常将其实现为64位。

当我们使用示例9.2调用该函数时，得到的是：

>>> float_to_bin_parts(9.2)
['0', '10000000010', '0010011001100110011001100110011001100110011001100110']

解释数据

您会看到我将返回值分为三个部分。这些组件是：


标志
指数
尾数（也称为有效数或分数）


标志

该符号作为单个位存储在第一部分中。很容易解释：0表示浮点数为正数； 1表示否定。因为9.2为正，所以我们的符号值为0。

指数

指数以11位存储在中间组件中。在我们的例子中，0b10000000010。以十进制表示，代表值1026。该组件的一个怪癖是必须减去一个等于2（位数）-1-1的数字才能得到真实的指数。在我们的例子中，这意味着减去0b1111111111（十进制数1023）以获得真实指数0b00000000011（十进制数3）。

尾数

尾数作为52位存储在第三部分中。但是，此组件也有一个怪癖。要理解这一怪异现象，请考虑用科学计数法表示的数字，如下所示：


  6.0221413x1023


尾数为6.0221413。回想一下，科学计数法中的尾数始终以单个非零数字开头。二进制也是如此，只不过二进制只有两位数字：0和1。因此二进制尾数始终以1开头！当存储浮点数时，将省略二进制尾数前面的1以便节省空间。我们必须将其放回第三个元素的前面以获取真实的尾数：


  1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110110


这涉及的不仅仅是一个简单的加法，因为存储在我们第三个分量中的位实际上代表了radix point右边的尾数的小数部分。

在处理十进制数时，我们通过乘以10的乘方或除以“移动小数点”。在二进制中，我们可以通过乘以2的乘方或除以进行相同的操作。由于我们的第三个元素有52位，因此我们除以通过252将其向右移动52个位置：


  0.00100110011001100110011001100110011001100110011001100110


用十进制表示法，与将675539944105574除以4503599627370496以获得0.1499999999999999相同。 （这是一个比率的示例，该比率可以精确地用二进制表示，但只能近似用十进制表示；有关更多详细信息，请参见：675539944105574 / 4503599627370496。）

现在我们已经将第三个分量转换为分数，添加1给出了真实的尾数。

重新盖上组件


符号（第一部分）：0表示正，1表示负
指数（中间分量）：减去2（位数）-1-1得到真实的指数
尾数（最后一个分量）：除以2（位数）并加1即可得到真实的尾数




计算数字

将所有三个部分放在一起，我们得到这个二进制数：


  1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 1011


然后我们可以将其从二进制转换为十进制：


  1.1499999999999999 x 23（不精确！）


并乘以显示存储为浮点值后以（9.2）开头的数字的最终表示形式：


  9.1999999999999993




表示为分数

9.2

现在我们已经构建了数字，可以将其重构为一个简单的分数：


  1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 1011


将尾数转换为整数：


  10010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 1011-110100


转换为十进制：


  5179139571476070 x 23-52


减去指数：


  5179139571476070 x 2-49


将负指数转化为除法：


  5179139571476070/249


相乘指数：


  5179139571476070/562949953421312


等于：


  9.1999999999999993


9.5

>>> float_to_bin_parts(9.5)
['0', '10000000010', '0011000000000000000000000000000000000000000000000000']

您已经可以看到尾数只有4位数字，后面跟着很多零。但是，让我们逐步进行。

汇编二进制科学符号：


  1.0011 x 1011


移动小数点：


  10011 x 1011-100


减去指数：


  10011 x 10-1


二进制到十进制：


  19 x 2-1


负数除法指数：


  19/21


相乘指数：


  19/2


等于：


  9.5






进一步阅读


The Floating-Point Guide: What Every Programmer Should Know About Floating-Point Arithmetic, or, Why don’t my numbers add up?（floating-point-gui.de）
What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic（Goldberg 1991）
IEEE Double-precision floating-point format（维基百科）
Floating Point Arithmetic: Issues and Limitations（docs.python.org）
Floating Point Binary