我正在尝试使用 scipy.optimize
最小化以下函数:
这是它的梯度:
(对于那些感兴趣的人,这是用于成对比较的 Bradley-Terry-Luce 模型的似然函数。与逻辑回归密切相关。)
很明显,向所有参数添加常量不会改变函数的值。因此,我让\theta_1 = 0。以下是目标函数和梯度在 python 中的实现(theta 在这里变为 x
):
def objective(x):
x = np.insert(x, 0, 0.0)
tiles = np.tile(x, (len(x), 1))
combs = tiles.T - tiles
exps = np.dstack((zeros, combs))
return np.sum(cijs * scipy.misc.logsumexp(exps, axis=2))
def gradient(x):
zeros = np.zeros(cijs.shape)
x = np.insert(x, 0, 0.0)
tiles = np.tile(x, (len(x), 1))
combs = tiles - tiles.T
one = 1.0 / (np.exp(combs) + 1)
two = 1.0 / (np.exp(combs.T) + 1)
mat = (cijs * one) + (cijs.T * two)
grad = np.sum(mat, axis=0)
return grad[1:] # Don't return the first element
这是一个 cijs
的例子:
[[ 0 5 1 4 6]
[ 4 0 2 2 0]
[ 6 4 0 9 3]
[ 6 8 3 0 5]
[10 7 11 4 0]]
这是我为执行最小化而运行的代码:
x0 = numpy.random.random(nb_items - 1)
# Let's try one algorithm...
xopt1 = scipy.optimize.fmin_bfgs(objective, x0, fprime=gradient, disp=True)
# And another one...
xopt2 = scipy.optimize.fmin_cg(objective, x0, fprime=gradient, disp=True)
然而,它总是在第一次迭代中失败:
Warning: Desired error not necessarily achieved due to precision loss.
Current function value: 73.290610
Iterations: 0
Function evaluations: 38
Gradient evaluations: 27
我不知道为什么会失败。由于这一行而显示错误: https://github.com/scipy/scipy/blob/master/scipy/optimize/optimize.py#L853
所以这个“Wolfe 线搜索”似乎没有成功,但我不知道如何从这里继续......感谢任何帮助!
最佳答案
作为@pv。作为评论指出,我在计算梯度时犯了一个错误。首先,我的目标函数梯度的正确(数学)表达式是:
(注意减号。)此外,我的 Python 实现完全错误,除了符号错误之外。这是我更新的渐变:
def gradient(x):
nb_comparisons = cijs + cijs.T
x = np.insert(x, 0, 0.0)
tiles = np.tile(x, (len(x), 1))
combs = tiles - tiles.T
probs = 1.0 / (np.exp(combs) + 1)
mat = (nb_comparisons * probs) - cijs
grad = np.sum(mat, axis=1)
return grad[1:] # Don't return the first element.
为了调试它,我使用了:
scipy.optimize.check_grad
:表明我的梯度函数产生的结果与近似(有限差分)梯度相去甚远。scipy.optimize.approx_fprime
了解值应该是什么样子。- 一些精心挑选的简单示例,如果需要可以手动分析这些示例,以及一些用于完整性检查的 Wolfram Alpha 查询。
关于python - 使用 scipy.optimize 最小化多元可微函数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/23244816/