floating-point - 浮点不准确示例

Question

<分区>

Answer 1

基本上人们在使用 float 时会遇到两个主要的陷阱。

1. 规模问题。每个 FP 数字都有一个指数，它决定了数字的整体“比例”，因此您可以表示非常小的值或非常大的值，尽管您可以为此投入的位数是有限的。添加两个不同比例的数字有时会导致较小的数字被“吃掉”，因为没有办法将它放入较大的比例中。

   PS> $a = 1; $b = 0.0000000000000000000000001
   PS> Write-Host a=$a b=$b
   a=1 b=1E-25
   PS> $a + $b
   1
   

   作为这种情况的类比，您可以想象一个大游泳池和一茶匙水。两者的尺寸都非常不同，但您可以轻松掌握它们的大致尺寸。然而，将茶匙倒入游泳池中，您仍然会看到一个装满水的游泳池。

   (如果学习这个的人对指数表示法有困难，也可以使用值 1 和 100000000000000000000 左右。)

2. 然后是二进制与十进制表示的问题。像 0.1 这样的数字不能用有限数量的二进制数字精确表示。不过，有些语言掩盖了这一点:

   PS> "{0:N50}" -f 0.1
   0.10000000000000000000000000000000000000000000000000
   

   但是您可以通过将数字重复加在一起来“放大”表示错误:

   PS> $sum = 0; for ($i = 0; $i -lt 100; $i++) { $sum += 0.1 }; $sum
   9,99999999999998
   

   不过，我想不出一个很好的类比来恰本地解释这一点。这基本上是同一个问题，为什么你只能用十进制表示 ¹/₃ 因为要获得准确的值，你需要在小数末尾无限期地重复 3 .

   同样，二进制分数适用于表示二分之一、四分之一、八分之一等。但是像十分之一这样的东西会产生无限重复的二进制数字流。

3. 然后还有另一个问题，尽管大多数人不会遇到这个问题，除非他们正在处理大量的数字内容。但是，那些人已经知道了这个问题。由于许多 float 只是精确值的近似值，这意味着对于实数 r 的给定近似值 f 可以有无限多的实数 r₁, r₂, ... 映射到完全相同的近似值。这些数字位于某个区间内。假设 r_min 是导致 f 和 r< 的 r 的最小可能值/em>_max 这适用于 r 的最大可能值，然后你得到一个区间 [r_min, r_max] 其中该区间内的任何数字都可以是您的实际数字 r。

   现在，如果您对该数字执行计算(加、减、乘等)，您就会失去精度。每个数字都只是一个近似值，因此您实际上是在使用间隔 执行计算。结果也是一个区间，近似误差只会越来越大，从而扩大区间。您可能会从该计算中得到一个数字。但这只是可能结果间隔中的一个数字，同时考虑到您的原始操作数的精度和计算造成的精度损失。

   那种东西叫Interval arithmetic至少对我来说，这是我们大学数学类(class)的一部分。