python - 用 scipy 拟合微分方程

Question

如何拟合以下 scipy 教程的微分函数

Scipy Differential Equation Tutorial ？

最后，我想拟合一些数据点，这些数据点遵循一组总共有六个参数的两个微分方程，但我想从一个简单的示例开始。到目前为止，我尝试了函数 scipy.optimize.curve_fit 和 scipy.optimize.leastsq 但我没有得到任何结果。

这就是我走了多远:

import numpy as np
import scipy.optimize as scopt
import scipy.integrate as scint
import scipy.optimize as scopt

def pend(y, t, b, c):
    theta, omega = y
    dydt = [omega, -b*omega - c*np.sin(theta)]
    return dydt


def test_pend(y, t, b, c):
    theta, omega = y
    dydt = [omega, -b*omega - c*np.sin(theta)]
    return dydt

b = 0.25
c = 5.0

y0 = [np.pi - 0.1, 0.0]
guess = [0.5, 4]
t = np.linspace(0, 1, 11)

sol = scint.odeint(pend, y0, t, args=(b, c))

popt, pcov = scopt.curve_fit(test_pend, guess, t, sol)

出现以下错误消息:

ValueError: too many values to unpack (expected 2)

我很抱歉，因为这被认为是一个非常简单的问题，但我无法让它发挥作用。所以提前致谢。

Answer 1

您需要提供一个函数f(t,b,c)，给定一个参数或t中的参数列表，返回该函数的值参数。这需要一些工作，通过确定 t 的类型或使用任一方式工作的构造:

def f(t,b,c): 
    tspan = np.hstack([[0],np.hstack([t])])
    return scint.odeint(pend, y0, tspan, args=(b,c))[1:,0]

popt, pcov = scopt.curve_fit(f, t, sol[:,0], p0=guess)

返回popt = array([ 0.25, 5. ])。

这可以扩展以适应更多参数，

def f(t, a0,a1, b,c): 
    tspan = np.hstack([[0],np.hstack([t])])
    return scint.odeint(pend, [a0,a1], tspan, args=(b,c))[1:,0]

popt, pcov = scopt.curve_fit(f, t, sol[:,0], p0=guess)

结果为popt = [ 3.04159267e+00, -2.38543640e-07, 2.49993362e-01, 4.99998795e+00]。

---

另一种可能性是显式计算与目标解之差的平方范数，并对如此定义的标量函数应用最小化。

 def f(param): 
     b,c = param
     t_sol = scint.odeint(pend, y0, t, args=(b,c))
     return np.linalg.norm(t_sol[:,0]-sol[:,0]);

res = scopt.minimize(f, np.array(guess))

返回到res

      fun: 1.572327981969186e-08
 hess_inv: array([[ 0.00031325,  0.00033478],
                  [ 0.00033478,  0.00035841]])
      jac: array([ 0.06129361, -0.04859557])
  message: 'Desired error not necessarily achieved due to precision loss.'
     nfev: 518
      nit: 27
     njev: 127
   status: 2
  success: False
        x: array([ 0.24999905,  4.99999884])