c++ - 非冗余对列表中的对象索引

Question

我正在实现一个碰撞检测算法，将所有对象之间的距离存储在一个八叉树节点中。例如，如果节点中有 4 个对象，则对象 1&2、1&3、1&4、2&3、2&4 和 3&4 之间存在距离。总对数的公式为 t = n * (n-1)/2，其中 t 是总对数，n 是节点中的对象数。

我的问题是，如何将列表中的一个位置转换为一对对象。例如，使用上面的对列表，3 将返回对 2&3。

为了节省内存空间，该列表只是距离的 float 列表，而不是包含距离和指向 2 个对象的指针。

我不确定如何在数学上将单个列表索引转换为一对数字。任何帮助都会很棒。我希望能够将其分解为 2 个函数，第一个返回对中的第一个对象，第二个返回第二个，这两个函数都采用 2 个变量，一个是索引，另一个是对象中的总对象节点。如果可能的话，我想制作一个没有任何循环或具有递归函数的函数，因为这将实时运行我的碰撞检测算法。

Answer 1

更好的排序

我建议使用 colexicographical order ，因为在这种情况下，您不必提供对象总数。像这样订购您的双鞋:

 0:   1:   2:   3:   4:   5:   6:   7:   8:   9:  10:  11:  12:  13:  …
0&1, 0&2, 1&2, 0&3, 1&3, 2&3, 0&4, 1&4, 2&4, 3&4, 0&5, 1&5, 2&5, 3&5, …

您将能够将此列表扩展到无限长度，这样您就可以在不知道项目数量的情况下知道任何对的索引。这样做的好处是，当您向数据结构中添加新项时，您只需追加到数组中，而不用重新定位现有条目。当您标记问题 C++ 时，我已将索引调整为从零开始，因此我假设您将使用从零开始的索引。我在下面的所有回答都假定此顺序。

您还可以像这样可视化 colex 排序:

 a: 0  1  2  3  4  5 …
b:
1   0
2   1  2     index of
3   3  4  5       a&b
4   6  7  8  9
5  10 11 12 13 14
6  15 16 17 18 19 20
⋮   ⋮                 ⋱

与单个索引配对

让我们首先将一对变成一个索引。诀窍在于，对于每一对，您都会查看第二个位置，并想象所有在该位置具有较小数量的对。因此，例如对于 2&4 对，您首先计算第二个数字小于 4 的所有对。这是从一组 4 中选择两个项目的可能方法的数量(即数字 0到 3)，因此您可以将其表示为二项式系数 4C2。如果你评估它，你最终会得到 4(4−1)/2=6。添加第一个数字，因为这是具有较低索引但在第二位具有相同数字的对的数量。对于 2&4，这是 2，所以 2&4 的总索引是 4(4−1)/2+2=8。

一般来说，对于一对a&b，索引将是b(b−1)/2+a.

int index_from_pair(int a, int b) {
  return b*(b - 1)/2 + a;
}

要配对的单个索引

将单个索引 i 变回一对数字的方法是增加 b 直到 b(b+1)/2 > i，即 b 的下一个值将导致索引大于 i 的情况。然后你可以找到 a 作为差异 a = i−b(b -1)/2。这种每次递增 b 的方法涉及使用循环。

pair<int, int> pair_from_index(int i) {
  int a, b;
  for (b = 0; b*(b + 1)/2 <= i; ++b)
    /* empty loop body */;
  a = i - b*(b - 1)/2;
  return make_pair(a, b);
}

您还可以将 b(b−1)/2 = i 解释为二次方程，您可以使用平方来求解根。您需要的实数 b 是 float b 的底数，作为该二次方程的正解。由于您可能会因这种方法的舍入错误而遇到问题，因此您可能需要检查 b(b+1)/2 > i .如果不是这种情况，请像在循环方法中那样递增 b。一旦有了 b，a 的计算就保持不变。

pair<int, int> pair_from_index(int i) {
  int b = (int)floor((sqrt(8*i + 1) + 1)*0.5);
  if (b*(b + 1)/2 <= i) ++b; // handle possible rounding error
  int a = i - b*(b - 1)/2;
  return make_pair(a, b);
}

顺序访问

请注意，您只需将索引转回成对即可随机访问您的列表。当迭代所有对时，一组嵌套循环更容易。所以不是

for (int = 0; i < n*(n - 1)/2; ++i) {
  pair<int, int> ab = pair_from_index(i);
  int a = ab.first, b = ab.second;
  // do stuff
}

你最好写

for (int i = 0, b = 1; b != n; ++b) {
  for (int a = 0; a != b; ++a) {
    // do stuff
    ++i;
  }
}