c++ - 使用 opengl/c++ 进行基于物理的断裂模拟

Question

我正在尝试实现这篇论文中的想法来对骨折进行建模: http://graphics.berkeley.edu/papers/Obrien-GMA-1999-08/index.html

我卡在了某个点(基本上是第 4 页...)，非常感谢任何帮助。我卡住的部分涉及四面体的变形(使用FEM)。

我有一个由四个节点定义的四面体(每个节点都有一个 x、y、z 位置)，我在其中计算以下矩阵:

• u:每一列都是一个包含 Material 坐标(x，y，z， 1) 对于每个节点(总共 4 列)，一个 4x4 矩阵

• B:inverse(u)，他把这个叫做基矩阵，一个4x4的矩阵

• P:每一列都是一个包含现实世界坐标(x，y， z) 对于每个节点，我设置 P 最初等于 u，因为对象是 静止状态不变形，3x4矩阵

• V:为每个节点中的 (x, y, z) 提供一些初始速度，因此 3x4 矩阵

• delta:基本上是一个单位矩阵，{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}}

我得到了 x(u) = P*B*u 和 v(u) = V*B*u，但不确定在哪里使用这些.. .

此外，我得到 dx = P*B*delta 和 dv = V*B*delta

然后我通过格林应变张量获得应变，epsilon = 1/2(dx+transpose(dx)) - Identity_3x3

然后强调，sigma = lambda*trace(epsilon)*Identity_3x3 + 2*mu*epsilon

我通过论文第 4 页的等式 (24) 得到弹力。这只是一个很大的总结。

然后我使用显式积分来更新现实世界坐标 P。这个想法是速度更新涉及四面体节点上的力，因此会影响现实世界坐标位置，使物体变形。

然而，问题在于该力非常小……大约 x 10^-19 等。因此，c++ 通常四舍五入为 0。我已经逐步完成了计算，但无法弄清楚原因。

我知道我在这里遗漏了一些东西，只是无法弄清楚是什么。我没有正确执行哪些更新？

Answer 1

力小的一个常见原因是您的杨氏模量 (lambda) 太小。如果您使用的是米尺度，则宏观尺度的物体可能具有 10^5 的杨氏模量和 0.3 到 0.4 的泊松比。

听起来可能发生的情况是您的 tet 仍处于静止状态。在没有变形的情况下，应变将为零，因此应力和力也将约为零。您可以通过各种方式扰动顶点并确保正确计算应变 (epsilon)。一个简单的测试是将质心放大 2 倍，这应该会给您带来正应变。如果围绕质心按 0.5 缩放，您将得到负应变。如果您均匀地平移顶点，则应变不会发生变化(常见的 FEM 不变量)。如果旋转它们，您可能会发生变化，但同向旋转的本构模型不会。

请注意，您可能认为重力会导致变形，但除非其中一个顶点受到约束，否则所有顶点上的均匀力将导致均匀的平移，这不会改变应变为零。

对于本文中的示例，您绝对不需要使用任意精度的算法。事实上，对于这些类型的模拟， float 通常就足够了。