c++ - 多维积分 - 耦合极限

Question

我需要计算 C++ 中高维积分的值。我发现许多库能够解决固定极限积分的此任务，

\int_{0}^{L} \int_{0}^{L} dx dy f(x,y) .

但是我正在研究的积分有可变的限制，

\int_{0}^{L} \int_{x}^{L} dx dy f(x,y) .

为了澄清我的意思，这里是一个简单的 2D 黎曼求和在 2D 中的实现，它返回所需的结果，

int steps = 100;
double integral = 0;
double dl = L/((double) steps);
double x[2] = {0};

for(int i = 0; i < steps; i ++){
    x[0] = dl*i;
    for(int j = i; j < steps; j ++){
        x[1] = dl*j;
        double val = f(x);
        integral += val*val*dl*dl;
    }
}

其中 f 是某个任意函数，L 是公共(public)积分上限。虽然这种实现有效，但速度很慢，因此对于更高的维度来说是不切实际的。

存在更高维度的有效算法，但据我所知，库实现(例如古巴)采用固定值 vector 作为限制参数，这使得它们对我的问题毫无用处。

这有什么原因和/或有什么技巧可以规避这个问题吗？

Answer 1

您的集成顺序错误，应该是dy dx。

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您正在对三角形进行积分

0 <= x <= y <= L

在正方形 [0,L]x[0,L] 内。这可以通过在整个正方形上积分来模拟，其中被积函数 f 在三角形外部定义为 0。在许多情况下，当 f 定义在整个正方形上时，可以通过将 f 与三角形指示函数的乘积作为新的被积函数来实现。