java - 插入排序算法大o : iterative and recursive

Question

这里我有两个插入排序算法。我很难找到这两种插入排序形式的大 O。我有一个迭代形式和一个递归形式。我说迭代形式是n^2而递归形式是n^2是不是错了。如果我错了，它们是什么，为什么？你是怎么得出这个答案的？

  public void iterativeSort(int[] list) {
        start = System.currentTimeMillis();
        for (int i = 1; i < list.length; i++) {
            count++;
            int temp = list[i];
            int j;

            for (j = i - 1; j >= 0 && temp < list[j]; j--) {
                list[j + 1] = list[j];
            }

            list[j + 1] = temp;
            finish += System.currentTimeMillis() - start;
        }

    }

    public static void recursiveSort(int array[], int n, int j) {
        finish += System.currentTimeMillis() - start;
        start = System.currentTimeMillis();
        if (j < n) {

            int i;
            count++;
            int temp = array[j];

            for (i = j; i > 0 && array[i - 1] > temp; i--) {
                array[i] = array[i - 1];
            }

            array[i] = temp;

            recursiveSort(array, n, j + 1);
        }
    }

Answer 1

是的，你是对的，两种实现都需要 O(n^2)时间。您不可能通过从递归实现切换到迭代实现来减少算法的运行时间，反之亦然。不过，这不适用于空间使用情况。

如何确定运行时间为O(n^2) .迭代解决方案更容易和更明显。一般来说，当你嵌套了 for -没有任何特定中断条件的循环，并且您正在运行一部分线性元素，运行时间是二次的。让我们进一步分析它。 for (int i = 1; i < list.length; i++)中的条件会出现多少次评估为 true ？答案是n-1 ，因为你从第二个元素开始直到结束。例如，如果 n=5 , 条件将为 true对于 i = 1, 2, 3, 4 (由于基于 0 的索引)，正好是 n-1次，在此示例中表示 4。现在，内部循环条件计算为 true 的次数有多少次？ ？在第一次运行时它会被执行一次，因为 i = 1和 j = 0并在一次迭代后 j将是 -1这将打破条件。在第二次迭代中它将被执行两次，在第三次迭代中执行三次等等，直到 n - 1。次。所以我们基本上拥有的是总和 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)你可以很容易地证明它等于 (n-1)n/2) .因为你在 big-O 中删除常量，所以运行时间是 O(n^2) .

现在第二个实现的分析可能因为递归的关系显得复杂了一点，其实差别不大。内部循环的逻辑，for (i = j; i > 0 && array[i - 1] > temp; i--) , 几乎相同，因为它在 j = 1 时执行一次, 两次 j = 2等等 我们将递归调用该方法多少次？再次n - 1次，因为第一个电话是 j = 1因此 j < n (假设 n 很大)，然后调用 recursiveSort(array, n, j + 1); .现在j = 2再次小于 n , 所以我们将递归调用函数直到 j == n ，所以正是n - 1次。鉴于内部循环嵌套在 O(n) 中，我们得到相同的迭代次数，即1 + 2 + 3 + ... + ( n-1 )导致 O(n^2)再次。

因此我们非正式地证明了这两种算法具有相同的渐近运行时间。在这种情况下我们可以认为它们是等价的吗？ 否。这是因为每个递归调用都会在堆栈上保留额外的空间，这意味着递归解决方案需要 O(n)空间，而迭代的 O(1) .从这个意义上说，我们可以说迭代解决方案更好，这通常是这种情况，但递归解决方案可能更具可读性(这里不是这种情况)。