我遇到了如下问题:
令A为正整数序列。
令B为A的子字符串。
令C为通过从A中删除B而创建的序列。
对于给定的A,找到C的最长递增(严格)子串的长度,其中B可以任意选择。
例如让A = [3 2 5 7 1 2 8 1]。如果我们设置B = [1 2],则C = [3 2 5 7 8 1],其最长递增子串为[2 5 7 8] ,长度为 4。4 是答案,因为不存在其他 B 可以得出更好的解决方案。
我找不到解决该问题的算法(当然是在多项式时间内:)),但我相信这将是最长递增子序列问题的某种变体。
请帮助我找到一个好的算法或给我一些提示或引用。
最佳答案
在对输入数组进行单次迭代时:
建立一个数组
smallest[n]
,其中smallest[i]
表示长度递增的子串i
中的最小元素code> 可以以 (例如,如果smallest[3] = 5
,则表示存在长度为 3 的子字符串以5
结尾,并且不存在长度为 3 的子字符串以4
结尾,否则smallest[3]
将为4
)。我们可以跟踪到目前为止最长的子字符串
i
,如果该元素大于当前元素,则只需替换smallest[i]
。关于该数组的一个重要注意事项:该数组中的元素将严格按递增顺序排列,也就是说,如果长度为
i
的子字符串以元素x
结尾> 存在于数组中,则不再存在包含等于或小于x
的元素的子字符串(这是因为较长的子字符串将包含长度为i
结尾的子字符串小于x
的元素,因此smallest[i]
将是该元素而不是x
)。除了此数组之外,还保留一个二叉搜索树 (BST),它将元素映射到子字符串长度(本质上与数组相反)。
更新
smallest
时,还要从 BST 中删除旧元素并插入新元素。(到目前为止,所有这些都是关于原始数组 A 中的子字符串,而不是删除后的数组 C)
使用这个,我们可以通过在 BST 中查找小于该元素的最大元素并添加来找到 C 中以任何元素(直接在某个 B 之后)结尾的最长子字符串
longestSSAfterB
1 到该长度。C 中以任何给定元素结尾的最长子字符串只是 1 + 以前一个元素结尾的最长子字符串(如果较小,则为 0)和
longestSSAfterB
中的最大值。C 中的最长子串就是我们上面找到的最长子串。
所有这些都需要O(n log n)
。
示例:
A = [3 2 5 7 1 2 8 1]
BST.floor(i)+1
currentSS longestSSAfterB longestSSinC smallest BST
A[0]=3 1 0+1=1 max(1,0+1)=1 [3] [(3→1)]
A[1]=2 1 0+1=1 max(1,0+1)=1 [2] [(2→1)]
A[2]=5 2 (2→1)->1+1=2 max(2,1+1)=2 [2,5] [(2→1), (5→2)]
A[3]=7 3 (5→2)->2+1=3 max(3,2+1)=2 [2,5,7] [(2→1), (5→2), (7→3)]
A[4]=1 1 0+1=1 max(1,0+1)=1 [1,5,7] [(1→1), (5→2), (7→3)]
A[5]=2 2 (1→1)->1+1=2 max(2,1+1)=2 [1,2,7] [(1→1), (2→2), (7→3)]
A[6]=8 3 (7→3)->3+1=4 max(4,2+1)=4 [1,2,7] [(1→1), (2→2), (7→3)]
A[7]=1 1 0+1=1 max(1,0+1)=1 [1,5,7] [(1→1), (5→2), (7→3)]
Longest substring = max(longestSSinC) = 4
关于algorithm - 带间隙的最长递增子串,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/44477733/