c - 如何求 3 的倍数

Question

这是一个竞赛问题:

有 N 个数字 a[0],a[1]..a[N - 1]。最初都是 0。你必须执行两种类型的操作:

1. 将索引 A 和 B 之间的数字增加 1。这由命令“0 A B”表示
2. 回答索引 A 和 B 之间有多少个数字可以被 3 整除。这由命令“1 A B”表示。

输入:第一行包含两个整数，N和Q。

接下来的 Q 行中的每一行都是上述形式的“0 A B”或“1 A B”。

输出:为“1 A B”形式的每个查询输出 1 行，其中包含相应查询所需的答案。

示例输入:

4 7 1 0 3 0 1 2 0 1 3 1
0 0 0 0 3 1 3 3 1 0 3

示例输出:

4 1 0 2

约束:

1 <= N <= 100000 1 <= Q <= 100000 0 <= A <= B <= N - 1

我不知道如何解决这个问题。你能帮忙吗？

时间限制为 1 秒。我尝试了蛮力，我还尝试为每个 i 保存第 ith 个元素之前的 3 的除数。

这是我的 C 代码:

#include <stdio.h>


int nums[100*1000+20];
int d[100*1000+20];
int e[100*1000+20];
int dah[100*1000+20];

int main()
{
    int n,q;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    int h;
    for(h=0;h<n;h++)
        {d[h/100]++; e[h/1000]++; dah[h/10]++;}
    int test;
    for(test=0;test<q;test++)
    {
        int op,start,end;
        scanf("%d%d%d",&op,&start,&end);
        if(0==op)
        {
            int x;
            for(x=start;x<=end;x++)
            {
                nums[x]++;
                nums[x]%=3;
                if(nums[x]==0)
                {
                    d[x/100]++;
                    e[x/1000]++;
                    dah[x/10]++;
                }
                else if(nums[x]==1)
                {
                    d[x/100]--;
                    e[x/1000]--;
                    dah[x/10]--;
                }
            }
        }
        else if(1==op)
        {
            int f;
            int ans=0;
            for(f=start;f<=end;)
            {
                if(f%1000==0&&f+1000<end)
                {
                    ans+=e[f/1000];
                    f+=1000;
                }
                else if(f%100==0&&f+100<end)
                {
                    ans+=d[f/100];
                    f+=100;
                }
                else if(f%10==0&&f+10<end)
                {
                    ans+=dah[f/10];
                    f+=10;
                }
                else
                {
                    ans+=(nums[f]==0);
                    f++;
                }
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

在这种方法中，我在 k*1000 和 (k+1)*1000 之间保存了 3 的倍数，对于 k*100 和 (k+1)*100 以及 10 也是如此。这对我有帮助查询更快。但这让我超过了时间限制。

Answer 1

提示 #1:

想想如何使用 MODULUS 运算符来帮助您。最初，您有 N 个数字，假设 N 是 5。

因此我们可以存储每个数字的余数(即存储 0 MOD 3、1 MOD 3、2 MOD 3，等等):

a[0] = 0
a[1] = 1
a[2] = 2
a[3] = 0
a[4] = 1
a[5] = 2

每次递增 A 和 B 之间的数字范围时，实际上只需要在数组中存储 0、1 或 2。例如，如果我们递增 2，那么新数字将为 3。现在可以被 3 整除，因此我们将 0 存储在数组中。因此，在我们有 0 并且递增的情况下，我们存储 1，如果我们有 1，我们存储 2，如果我们有 2，我们存储 0。

此优化消除了除初始步骤之外的任何除法的需要。除法是一项非常昂贵的操作，这就是我们希望尽可能消除它的原因。

所以在从 0 递增到 5 之后，数组看起来像这样:

a[0] = 1
a[1] = 2
a[2] = 0
a[3] = 1
a[4] = 2
a[5] = 0

A 和 B 之间可被 3 整除的数字的数量就是具有 0 的元素的数量(在本例中为 2)。

现在您必须考虑如何有效地查询范围 A 到 B 以找到可被 3 整除的数字的数量。

提示#2:

要找出区间 [A,B] 内有多少数字可以被 3 整除，您可以考虑使用一种算法/数据结构，即线段树。了解一下 here .这给您带来的好处是，现在您可以非常快速地计算任何此类区间 [A,B] 中可被 3 整除的数字的数量，而不是遍历数组并计算它们。