algorithm - 计算具有 100% 平滑度的平滑顶点法线的一般方法

Question

我在网上看了很长时间，找不到这个问题的答案。 为简单起见，我们假设我需要完全平滑一组相连面的法线。 我想找到一组向量之间的实际几何平分线，忽略重复的法线并保持三角形汤的准确性。基本上，它需要:

• 处理三角形汤——无论是三个、4 个还是 4000 个三角形，法线仍然需要以几何正确的方式协同工作，而不偏向任意区域
• 忽略重叠(平行)法线 - 如果我有一个立方体的边缘在 3 个三角形中，或者一个在两个边中的每个边中的一个三角形中，最后一个边中有 2 个(或更多)边，或者一个只有一侧有一百万个三角形，平分线不能改变

我似乎找到的最常见的法线平滑公式是，通过将法线向量加在一起并除以三来简单地对它们进行平均；示例:

normalize((A + B + C) / 3);

当然，除以三是没有用的，这已经表明了人们提出的天真、不切实际的暴力平均法的氛围；这个问题还有一个事实，它甚至会把三角形汤和平行法线搞得一团糟。

我似乎发现的另一个评论是保留初始的“小平面”法线，因为它们来自生成它们的常见交叉乘法运算，因为这样它们(有点)针对三角形的面积加权。在某些情况下，这可能是您想做的事情，但我需要纯平分线，因此面积不能影响公式，即使考虑到它，它仍然会被三角形汤弄乱。

我看到一个提到的方法说要根据相邻面之间的角度进行加权，但我似乎无法正确实现该公式 - 要么是这样，要么就是没有按照我的要求进行。然而，这对我来说很难说，因为我找不到一个简明的解释，而且我的头脑因所有这些浪费的头脑 Storm 而变得 NumPy 。

有人知道通用公式吗？ 如果有任何帮助，我正在使用 C++ 和 DirectX11。

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编辑:这里有一些类似的问题，描述了一些方法；

• How to achieve smooth tangent space normals?
• Calculating Vertex Normals of a mesh
• Calculating normals in a triangle mesh
• How does Blender calculate vertex normals?
• Most efficient algorithm to calculate vertex normals from set of triangles for Gouraud shading

还有这篇文章: http://www.bytehazard.com/articles/vertnorm.html

不幸的是，我尝试的实现没有奏效，而且我找不到关于哪个公式实际上是我需要的公式的清晰、简明的陈述。经过反复试验，我终于发现按角度加权是正确的方法，只是我没能正确实现；因为它现在似乎可以正常工作，所以我将在下面添加我的实现作为答案。

Answer 1

正确的方法是根据边/角中共享顶点的两个相邻顶点之间的角度来加权“面”法线。

(此处显示了相对于每个面的角度)

这是一个示例实现的概要:

for (int f = 0; f < tricount; f++)
{
    // ...
    // p1, p2 and p3 are the points in the face (f)

    // calculate facet normal of the triangle using cross product;
    // both components are "normalized" against a common point chosen as the base
    float3 n = (p2 - p1).Cross(p3 - p1);    // p1 is the 'base' here

    // get the angle between the two other points for each point;
    // the starting point will be the 'base' and the two adjacent points will be normalized against it
    a1 = (p2 - p1).Angle(p3 - p1);    // p1 is the 'base' here
    a2 = (p3 - p2).Angle(p1 - p2);    // p2 is the 'base' here
    a3 = (p1 - p3).Angle(p2 - p3);    // p3 is the 'base' here

    // normalize the initial facet normals if you want to ignore surface area
    if (!area_weighting)
    {
        normalize(n);
    }

    // store the weighted normal in an structured array
    v1.wnormals.push_back(n * a1);
    v2.wnormals.push_back(n * a2);
    v3.wnormals.push_back(n * a3);
}
for (int v = 0; v < vertcount; v++)
{
    float3 N;

    // run through the normals in each vertex's array and interpolate them
    // vertex(v) here fetches the data of the vertex at index 'v'
    for (int n = 0; n < vertex(v).wnormals.size(); v++)
    {
        N += vertex(v).wnormals.at(n);
    }

    // normalize the final normal
    normalize(N);
}

这是法线的“朴素”平均值的示例(即没有角度加权)；

您可以看到面组件都是相同的，但由于某些面有两个面，因此它们的插值部分加倍，从而使平均值出现偏差。仅对表面积而不是角度进行加权会产生类似的结果。

这是同一个模型，但启用了角度加权；

现在插值法线在几何上都是正确的。