python - 来自两个 3D 点的欧拉角和旋转矩阵

Question

我试图找到允许在 3D 空间中从点 A 到点 B 的转换的欧拉角。

考虑归一化向量 A = [1, 0, 0] 和 B = [0.32 0.88 -0.34]。

我知道通过计算叉积 A × B 我得到了旋转轴。 A 和 B 之间的角度 由 tan⁻¹(||cross||, A·B)，其中 A·B 是 A 和 B 之间的点积。

这给了我旋转矢量 rotvec = [0 0.36 0.93 1.24359531111]，即 rotvec = [A × B; angle](叉积被归一化)。

现在我的问题是:我如何从这里移动到对应于从 A 到 B 的转换的欧拉角？

在 MATLAB 中，函数 vrrotvec2mat 接收一个旋转向量作为输入并输出一个旋转矩阵。然后函数 rotm2eul 应该返回相应的欧拉角。我得到以下结果(以弧度为单位):[0.2456 0.3490 1.2216]，根据 XYZ 约定。然而，这不是预期的结果。

正确答案是 [0 0.3490 1.2216]，对应于 Y< 中的 20° 和 70° 旋转 和 Z。

当我使用 eul2rot([0 0.3490 1.2216])(使用 eul2rot 取自 here )来验证生成的旋转矩阵时，这个与我的不同使用vrrotvec2mat(rotvec)时获取。

我还有一个 Python spinet，它产生与上述完全相同的结果。

--- Python (2.7) 使用 transform3d ---

import numpy as np
import transforms3d

cross = np.cross(A, B)
dot = np.dot(A, B.transpose())
angle = math.atan2(np.linalg.norm(cross), dot)
rotation_axes = sklearn.preprocessing.normalize(cross)
rotation_m = transforms3d.axangles.axangle2mat(rotation_axes[0], angle, True)
rotation_angles = transforms3d.euler.mat2euler(rotation_m, 'sxyz')

我在这里缺少什么？我应该怎么做？

谢谢

Answer 1

旋转矩阵有 3 个自由度，但您的问题的约束只限制了其中的 2 个自由度。

考虑到我们有一个从 A 旋转到 B 的旋转矩阵 R 的情况，这可以变得更具体，所以 R*A == B。如果我们然后构造另一个围绕向量 B 旋转的旋转矩阵 RB 然后将此旋转应用于 R*A 将不会有任何效果，即B == R*A == RB*R*A。但是，它将产生具有不同欧拉角的不同旋转矩阵 RB*R。

这是 MATLAB 中的示例:

A = [1; 0; 0];
B = [0.32; 0.88; -0.34];

A = A / norm(A);
B = B / norm(B);

ax = cross(A, B);
ang = atan2(norm(ax), dot(A, B)); % ang = acos(dot(A, B)) works too
R = axang2rotm([ax; ang].');

ang_arbitrary = rand()*2*pi;
RB = axang2rotm([B; ang_arbitrary].');

R*A - B
RB*R*A - B

rotm2eul(R)
rotm2eul(RB*R)

结果

ans =
   1.0e-15 *

   -0.0555
    0.1110
         0

ans =
   1.0e-15 *

    0.2220
    0.7772
   -0.2776

ans =    
    1.2220    0.3483    0.2452

ans =    
    1.2220    0.3483    0.7549