python - 边界条件在热方程和Crank-Nicholson有限差分解中的应用

Question

下面的代码求解一维热方程，该方程代表一根杆，其末端保持在零温度，初始条件为 10*np.sin(np.pi*x)。

Dirichlet 边界条件(两端为零温度)如何应用于此计算？有人告诉我矩阵 A 的上下两行包含两个非零元素，而缺少的第三个元素 是 Dirichlet 条件。但我不明白这种情况是通过哪种机制影响计算的。 A 中缺少元素，u_{0} 或 u_{n} 怎么可能为零？

下面的有限差分法使用 Crank-Nicholson。

import numpy as np
import scipy.linalg

# Number of internal points
N = 200

# Calculate Spatial Step-Size
h = 1/(N+1.0)
k = h/2

x = np.linspace(0,1,N+2)
x = x[1:-1] # get rid of the '0' and '1' at each end

# Initial Conditions
u = np.transpose(np.mat(10*np.sin(np.pi*x)))

# second derivative matrix
I2 = -2*np.eye(N)
E = np.diag(np.ones((N-1)), k=1)
D2 = (I2 + E + E.T)/(h**2)

I = np.eye(N)

TFinal = 1
NumOfTimeSteps = int(TFinal/k)

for i in range(NumOfTimeSteps):
    # Solve the System: (I - k/2*D2) u_new = (I + k/2*D2)*u_old
    A = (I - k/2*D2)
    b = np.dot((I + k/2*D2), u)
    u = scipy.linalg.solve(A, b)

Answer 1

让我们看一个简单的例子。我们假设 N = 3，即三个内点，但我们首先还将边界点包含在描述近似二阶导数的矩阵 D2 中:

      1  /  1 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  1 /

第一行表示 x_1 处的近似二阶导数是 1/h^2 * (u_0 - 2*u_1 + u_2)。我们知道 u_0 = 0 但是，由于齐次 Dirichlet 边界条件，所以我们可以简单地从等式中省略它，并且 e 得到与矩阵相同的结果

      1  /  0 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  0 /

由于 u_0 和 u_{n+1} 不是真正的未知数——已知它们为零——我们可以将它们完全从矩阵中删除，并且我们得到

      1  /  2  1  0 \
D2 = --- |  1 -2  1 |
     h^2 \  0  1 -2 /

矩阵中缺失的条目确实对应于边界条件为零的事实。